Доказательство. 1. Единственность. Пусть искомое j существует

1. Единственность. Пусть искомое j существует. Тогда для

x = имеем jx = j()= = - отсюда единственность.

2. Существование. Пусть для произвольного x = по

определению j x =j()= . (Из п.1 видно, что

никак иначе отображение j мы определить и не можем).

Тогда j - линейное отображение, так как " x = Î Lⁿ,

у = Î Lⁿ и "a,bÎ Р имеем

j(a x + bу)=j(a +b )=j() =

= = a + b = aj x + bj у. Кроме того, j е_i=j(0·е₁+…+1·е_i+…+0·е_n)=0·a₁+…+1·a_i+…+0·a_n= a_i.

ÿ

Замечание. Линейное отображение j называется продолжением по линейности отображения базисных векторов

j¢: {e₁, …,e_n} ® L^m такого, что j¢ e_i= a_i, i=1,…,n.

Следствия. 1. " т´п- матрицы А $! линейное отображение j: Lⁿ ® L^m такое, что = А – для этого надо выбрать векторы a₁, …,a_n, координаты которых в базисе е¢, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.

2. При фиксированных базисах е в Lⁿ и е ¢ в L^m соответс-

твие j « является биекцией между множеством линей-

ных отображений из Lⁿ в L^m и множеством т´п- матриц.

Пусть x ÎLⁿ, y = j xÎ L^m. Найдем связь координат векто­ров x в базисе e и y = j x в базисе e¢. Если x = ,

y=j x=j()= = ()= e¢_i= = , то y_i = . То есть [ ] = × [ ] или

[ ] = × [ ].

В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: jх = j(е [ x ] ) = j(е)× [ x ] = e¢ [ j ] × [ x ] = y = e¢ [ y ] Þ [ y ] = [ jx ] = [ j ] × [ x ].