Упражнения. 1. Проверить, что DA*S = S, S*DB =S S Í A´B

1. Проверить, что D_A*S = S, S*D_B =S "S Í A´B.

2. Проверить, что

(S₁*S₂)*S₃ = S₁*(S₂*S₃) " S₁ Í A´B, S₂ Í B´C, S₃ Í C´D.

3. Проверить, что (S ^-1) ^-1 = S " S Í A´B.

4. Проверить, что (S₁*S₂) ^-1 = S₂^-1 * S₁^-1 " S₁ Í A´B, S₂ Í B´C.

5. Доказать, что если отображения F₁ из A в B и F₂ из B в C являются инъекциями, то F₂ F₁ – инъекция.

6. Доказать, что если отображения F₁ из A в B и F₂ из B в C являются сюръекциями, то F₂ F₁ – сюръекция.

7. Доказать, что если отображения F₁ из A в B и F₂ из B в C являются биекциями, то F₂ F₁ – биекция.

8. Доказать, что для отображения F из A в B соответствие F ^-1 будет отображением из B в A Û F – биекция. В этом случае F ^-1 - также биекция, и F* F ^-1 =D_A, F ^-1* F =D_B.

9. Доказать, что для отображения F из A в B

уравнение Fx= b имеет £ 1 решения "b Û F – инъекция,

уравнение Fx= b имеет ³1 решения "b Û F – сюръекция,

уравнение Fx=b имеет ровно одно решение "b Û F – биекция.

10. Доказать, что отображение F из A в B является инъекцией Û F* F ^-1 =D_A.

11. Доказать, что отображение F из A в B является сюръекцией Û F ^-1* F =D_B.

Пусть S(X) – множество биекций множества Х. Тогда

I. " f, gÎ S(X) f g Î S(X) (из упр. 5),

II. 1. " f, g, hÎ S(X) (f g) h = f (g h) (из упр. 2),

2. $ D_XÎ S(X) (очевидно, D_X – биекция из Х в Х и D_X(х)=х " хÎ X) и " fÎ S(X) f D_X = D_X f = f (из упр.1). Биекция D_X обозначается ещё id_X или id.

3. " fÎ S(X) $ f ^-1Î S(X) и f ^-1 f = f f ^-1= D_X (из упр.6).

Далее множества с такими свойствами мы будем называть группами. Таким образом, S(X) - группа.