Бином Ньютона

Теорема. (a + b)ⁿ = aⁿ + a^n-1b + a^n-2b² +…+ bⁿ =

= . Эта формула называется биномом Ньютона.

Первое доказательство (индукцией по п).

п = 1. Утверждение очевидно: (a + b)¹ = a¹ + b¹ = a + b.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.

(a + b)ⁿ = (a + b)×(a + b)^n-1 =(a + b)× = = + + = = a^п + + b^п .



Второе доказательство (для умных, но ленивых).

Раскроем скобки в выражении

(a + b)ⁿ = (a + b)×(a + b)×…× (a + b), (1.1)

выбирая из каждого двучлена справа или a или b, и записывая их в произведение с сохранением порядка множителей. Так, например произведение aababb… получится, если мы выберем из первого двучлена a, из 2-го a, из 3-го b, из 4-го a, из 5-го b, из 6-го b и т.д. Если мы теперь все множители a запишем слева, а множители b справа, то получим одночлен вида a^n-kb^k. Все одночлены такого вида получаются при выборе из п двучленов в (1.1) подмножества (сочетания) из k двучленов, в которых при раскрывании скобок мы выбираем в качестве множителей элементы b (а из остальных двучленов, естественно, выбираются в качестве множителей элементы a). Количество таких подобных одночленов равно количеству сочетаний из n по k. Если мы их всех просуммируем, то получим слагаемое в разложении бинома Ньютона.