Доказательство. Þ. 1. Очевидно, хÎ Х хÎ clp x Þ X =

Þ. 1. Очевидно, " хÎ Х хÎ cl_p x Þ X = .

2. Если cl_p х ∩ cl_p y ¹ Æ, то есть cl_p х ∩ cl_p y ' z, то из утверждения 4) cl_p х = cl_p z = cl_p y.

Ü. Пусть Х = U Х_i, где Х_i ∩ Х_j = Æ при i ¹ j. Если существует отношения эквивалентности p, которое порождает данное разбиение, то есть "i Х_i = cl_p х_i, то все элементы из каждого подмножества Х_i должны находиться в отношении p, а элементы, не лежащие в одном подмножестве, не должны находиться в отношении p. То есть хpу Û $ i такое, что

х, уÎ Х_i. Это означает единственность p.

Докажем существование. Как мы только что увидели, если p $, то хpу Û $ i такое, что х, уÎ Х_i. Очевидно, так определенное отношение p рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. " хÎХ cl_p х – это множество элементов, находящихся с х в отношении p, то есть подмножество Х_i, содержащее элемент х. Это

означает существование p.



Определение. Множество классов эквивалентных элементов по отношению p называется фактор-множеством и обозначается Х/p. Другими словами, элементами множества

Х/p являются классы эквивалентных элементов множества Х. Часто отношение эквивалентности обозначается знаком ~.

Упражнения.

1. Пусть p₁ и p₂ - отношения эквивалентности на Х. Найти классы эквивалентных элементов для отношения эквивалентности p₁ ∩ p₂.

2. Найти классы эквивалентных элементов для наименьшего отношения эквивалентности D_Х и для наибольшего отношения эквивалентности Х´Х.

Лекция 5.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ