Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами

находят как линейную комбинацию фундаментальных (линейно независимых или базисных) решений :

.

Базисные решения определяются корнями характеристического уравнения, которое получается из исходного уравнения заменой производных на :

.

· Каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует решение:

;

· Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствует решение:

.

Согласно этому правилу решения однородных уравнений 2-го порядка записываются следующим образом:

· Если корни характеристического уравнения действительные и различные , то ;

· Если корни характеристического уравнения действительные и одинаковые (кратность , то ;

· Если корни характеристического уравнения комплексные , то .