Решение. Составим дифференциальное уравнение

Составим дифференциальное уравнение. Обозначим через световой поток, падающий на поверхность на глубине . При прохождении через слой воды толщиной поглощенный световой поток равен дифференциалу , где – коэффициент пропорциональности ().

Общее решение дифференциального уравнения получаем путем разделения переменных . В результате общее решение имеет вид:

.

По условию задачи при имеем поэтому

откуда и ,

До глубины м дойдет световой поток что составляет 8,78 первоначального светового потока.

Задача 2.

Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой её точке равна произведению координат точки касания.

Решение.

Пусть - искомая функция. Проведем касательную в произвольной точке кривой Согласно условию задачи .

Из прямоугольного треугольника

Тогда дифференциальное уравнение примет вид ,

Умножая обе части полученного уравнения на дробь получим

.

Преобразуем его.

Возводим обе части в квадрат.

Разделим обе части на (при условим, что ).

откуда

Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение

4. По заданным условиям составить дифференциальное уравнение и решить его.

1) Скорость остывания пропорциональна разности температур тела (T) и окружающей среды .За 10 минут тело остыло со до . За какое время тело остынет до ?

2) Найдите ток в электрической цепи, заданной уравнением

3) В начале семестра один день тянется как два. Через три месяца два дня тянутся как один. К началу сессии времени ни на что не хватает. Найдите время начала сессии , если скорость течения времени обратно пропорциональна квадратному корню из времени, оставшегося до сессии.

4) Найти кривую, проходящую через точку , зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат.

Ответы:

Мин

2)

При

3)

5)