Тройные интегралы

Тройным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой пространственной области называют предел последовательности интегральных сумм

.

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению однократного интеграла по одной из координат и двойного интеграла по проекции объема на одну из координатных плоскостей. Если область интегрирования ограничена сверху и снизу гладкими поверхностями , и однозначно проектируется на плоскость в область , то интеграл вычисляют по формуле:

.

В тех случаях, когда объем проектируется на координатную плоскость в круг или часть круга, используют криволинейные системы координат. Так в цилиндрической системе координат интеграл вычисляют согласно соотношению:

.

φ φ

В тех случаях, когда пространственное тело ограничено сферическими поверхностями, удобно использовать сферическую систему координат, которая каждой точке пространства приписывает три координаты: полярный угол , азимутальный угол и расстояние от начала координат до точки на сфере . Тройной интеграл при этом представляется в виде: