I. Нахождение угла между двумя заданными направлениями, дву-мя плоскостями, направлением и плоскостью

Из аналитической геометрии известно, что скалярное произведение двух векторов равно

где a - угол между двумя векторами. Тогда

(4.1)

Соответственно, в кристаллографическом обозначе-нии имеем:

Тогда выражение (4.1) для прямоугольной системы координат запи-шется как

(4.2)

Направления будут взаимно перпендикулярны, если

(4.3)

Для кубической сингонии индексы направления, перпендикулярного плоскости (hkl) численно равны индексам этой плоскости, т.е. [hkl]. На­пример, перпендикуляр к плоскости (100) будет [100]. Учитывая это об­стоятельство, легко найти угол между двумя плоскостями (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂) (фактически угол ищется между перпендикулярами к этим плоскостям)

(4.3)

В табл.4.4 даны значения углов между некоторыми плоскостями ку-бической решетки.

Значения углов между некоторыми плоскостями кубической ре-шетки

Табл. 4.4

Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей (cos 90° = 0) описывается полученным ранее уравнением (4.3).

Пусть требуется найти угол 5 между направлением [uvw] и плоско стью (рис.4.9).

Рис. 4.9. К нахождению угла между направлением и плоскостью

Пунктиром изображена проекция на плоскость. - нормаль к

плоскости - [hkl] (для кубической сингонии)

Условие перпендикулярности направления и плоскости: 5 =90°, s =0. uh+vk+wl=(u²+v²+w²)^1/2*(h²+k²+l²)^!/2. Как видно, условие выполняется в случае u=h, v=k, w=l о чем говорилось ранее для кубической сингонии. Условие параллельности или принадлежности направления [uvw] плоскости (hkl) имеет вид:

uh+vk+wl (4.5)

т.к.

Уравнение (4.5) известно как условие зональности.

Выводы

1. Кристаллографически идентичные и параллельные плоскости (на-правления) имеют одинаковые индексы.

2. Кристаллографическая символика позволяет просто решать типо-вые задачи структурного анализ