Прості розширення полів та їх побудова

До цього ми будували розширення поля F, приєднуючи до нього елементи деякого ширшого поля . Спробуємо тепер побудувати розширення F, не маючи ширшого поля. Необхідний результат дає наступна теорема.

ТЕОРЕМА 24. Нехай F [ x ] – кільце поліномів над полем F, – незвідний поліном. Тоді фактор-кільце ізоморфне деякому простому розширенню поля F.

4За теор.10 – поле. Його елементами є класи лишків , . Операції на класах лишків вводяться звичайним способом:

, .

Розглянемо множину класів лишків виду , . Класи і при не перетинаються. Таким чином, кожному елементу поля можна співставити елемент поля , і це відображення є ізоморфізмом. Отже, елементи вигляду можна ототожнити з елементами , і дійсно є розширенням

Покажемо, що g має корінь в одержаному розширенні і цим коренем є елемент [x]. Згідно з введеними операціями на класах лишків

(елементи можна розглядати як елементи розширення ).

Кожен елемент , може бути представлений у вигляді

, і містить всі елементи такого виду. Але поле, одержане шляхом приєднання елемента , якраз і повинно складатися з усіх елементів такого виду. Отже, співпадає з простим алгебраїчним розширенням з точністю до ізоморфізму.3

Тепер стає очевидною

ТЕОРЕМА 25. Для будь-якого незвідного полінома існує з точністю до ізоморфізму розширення поля F, в якому f має хоча б один корінь.

› Теорема 24 є переформулюванням п.1 теор.23, але в ній не передбачається існування розширення і алгебраїчного над F елемента . Завдяки теор.24 можна розширювати скінченні поля, починаючи з простих, адже будова останніх нам відома – це не що інше, як кільця лишків за простим модулем Z _p з операціями за модулем . Отже, з них можна будувати більш складні (розширені) скінченні поля, будуючи фактор-кільця так, як описано у п.3.3. Щоправда, для цього потрібно мати незвідний над F поліном. Існування незвідних поліномів будь-якого степеня над заданим скінченним полем буде доведено нижче (див. наслідок 4 з теор.30).

Приклад.

Розглянемо поліном над полем F ₅. В F ₅ він не має коренів. За теор.24 у фактор-кільці F ₅ , яке через незвідність буде полем, поліном має корінь F ₅ . Виходячи з того, що степінь кожного полінома, що представляє елемент поля F ₅ ,повинен бути меншим за степінь g(x) (представниками класів лишків є лишки від ділення на g), робимо висновок, що всі його елементи можна зобразити у вигляді .

Корінь можна позначати по-різному. Наприклад, враховуючи, що , можемо записати: . Введемо операції:

,

Таким чином одержуємо просте розширення F ₅ ().

ТЕОРЕМА 26. Нехай F – поле, – незвідний поліном, , b – його корені. Тоді прості розширення і ізоморфні.

4Це очевидно випливає з теор.24 і транзитивності відношення ізоморфності:

F [ x ] /(f) .3

Контрольні питання до §9,10

1. Дати визначення мінімального поліному, незвідного полніому.

2. Сформулювати теорему про властивості мінімального поліному.

3. Яке розширення поля називається простим?