Задачі до §9,10

1. Нехай К – підполе поля F, Θ ÎF. Довести: , де g – мінімальний поліном елементу Θ.

2. Чи є справедливим твердження: Þ є коренями одного й того ж незвідного поліному над К?

3. Довести, що - незвідний; побудувати таблиці операцій для простого розширення F₂(Θ), де Θ – корінь вказанного поліному.

4. Нехай К – поле. Довести: f, g ÎK[ x ] мають спільний корінь (з деякого розширення К) ó .

5. Довести: будь-яке поле характеристики р ізоморфне .

6. Довести: при поліном ділится на в .

7. Нехай F – скінченне поле. Довести: char F =ord e в адитивній групі цього поля.

8. Нехай . Чи є справедливим твердження: f – простий Û (f) – простий?

9. Нехай F – поле, . Довести: pa =0 Û pb =0, де p – просте число. Чи є справедливим дане твердження для кільця?

10. Довести: незвідний поліном не має кратних коренів.

11. Нехай F – скінчене поле, К Ì F – підкільце. Довести: К – підполе.

12. Довести: якщо n – просте, то не має інших підполів, крім простого. Яке це підполе?

13. Нехай f, g ÎK[x]. Довести: f, g мають спільний корінь Þ хоча б один з них звідний.

14. Довести: незвідний над F₂ Þ t непарне.

15. Нехай . Який степінь мінімального поліному елемента a над ?