Базисы в линейном пространстве

Упорядоченный набор векторов

(5.5)

линейного пространства образуют базис в , если

1) векторы (5.5) линейно независимы,

2) любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов (5.5):

. (5.6)

Равенство (5.6) называется разложением вектора по базису (5.5). Для каждого вектора числа определяются однозначно; они называются координатами вектора в базисе (5.5).

При фиксированном базисе соответствие между векторами и их координатными строками – арифметическими векторами взаимно-однозначно: каждому вектору соответствует единственная строка, разным векторам – разные строки. Как и в случае геометрических векторов, при сложении двух векторов их координатные строки складываются, при умножении на число – умножаются на это число. Вышесказанное позволяет при выполнении линейных операций фактически отождествить вектор с его координатной строкой и писать .

Линейные пространства, в которых существует базис, называются конечномерными. Можно показать, что любой базис в конечномерном линейном пространстве содержит одно и то же число векторов. Это число называется размерностью линейного пространства ; говорят, что – - мерное линейное пространство и обозначают его с указанием размерности: .

Согласно п. 5.1.5 линейное пространство геометрических векторов на плоскости двумерно, линейное пространство геометрических векторов в пространстве трехмерно. Пространство -мерно.

Линейное пространство, в котором существует любое число линейно независимых векторов и потому не существует базиса, называется бесконечномерным. Например, бесконечномерным является линейное пространство всех функций на (см. задачу 5.3.20).