Действия с линейными операторами

Из определения ясно, что любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой: . Из свойств умножения матриц следует, что

1) линейный оператор преобразует сумму векторов в сумму их образов: ;

2) линейный оператор преобразует произведение вектора на число в произведение образа вектора на то же число: .

Верно и обратное: любое преобразование векторов со свойствами 1)-2) является линейным оператором.

Действия сложения квадратных матриц, умножения матрицы на число, умножения матриц, обращения матриц можно рассматривать и как действия с линейными операторами.

Пусть и – две квадратные матрицы одного порядка, матрица , как линейный оператор, преобразует вектор в вектор , а матрица как линейный оператор, преобразует вектор в вектор . Таким образом, матрица – произведение соответствует последовательному действию двух линейных операторов – сначала , потом .

Пусть – обратимая квадратная матрица, то есть и потому существует обратная матрица . Если матрица , как линейный оператор, преобразует вектор в вектор , то обратная матрица , как линейный оператор, преобразует «наоборот» вектор в вектор : ; поэтому говорят, что – обратный оператор. Равенства означают, что последовательное действие оператора и обратного оператора дает тождественный оператор .