Базисы на плоскости и в пространстве

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара

линейно независимых (неколлинеарных) векторов. Поскольку три вектора на плоскости линейно зависимы, то любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить по базису – представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

,

где числа , – координаты вектора в выбранном базисе (рис. 5.2).

Записи и означают, что вектор имеет в выбранном базисе координаты , .

, .

Числа определяются по вектору однозначно; они называются координатами вектора в выбранном базисе. Используется также запись или .

Таким образом, при фиксированном базисе на плоскости (в пространстве) каждый вектор однозначно описывается упорядоченным набором из двух (трех чисел). Все действия с векторами: линейные операции, а также действия, которые будут определены в дальнейшем, выражаются через координаты векторов, то есть сводятся к числовым вычислениям. В этом и состоит смысл введения координат.

Линейные операции в координатах. Если в некотором базисе в пространстве , , то в том же базисе

, , (5.2)

то есть при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число λ каждая координата вектора умножается на это число.

Аналогичное правило, конечно, верно и для векторов на плоскости.

Критерий коллинеарности: Два ненулевых вектора и коллинеарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда они и их координаты пропорциональны:

. (5.3)

Критерий компланарности: Три вектора , и компланарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда определитель

. (5.4)

Ортонормированным базисом называется базис из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Фиксированный ортонормированный базис на плоскости будем обозначать , в пространстве – .