Расчет переходных процессов в цепях с взаимной индукцией

При t =0 происходит включение цепи (рис. 1.20) на постоянное напряжение U. До включения токи в контурах были равны нулю, т.е.

, и, следовательно, начальные условия - нулевые.

После коммутации () имеем

, (1.30)

где - самоиндуктивности, - коэффициент взаимоиндукции.

Исключим ток из (1.30). Для этого из второго уравнения получим:

.

Подставим в первое уравнение:

. (1.31)

Продифференцируем это уравнение

.

Из первого уравнения системы (1.30) получим

.

Подставим это выражение в (1.31), также введем коэффициент магнитной связи и получим уравнение .

После введения понятия «коэффициент рассеяния» приходим к уравнению:

.

По традиции решение ищем в виде .

Установившийся ток равен .

Составим уравнение для свободного тока:

.

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

.

Докажем, что корни: представлены только вещественными числами. Для этого необходимо доказать, что подкоренное выражение положительное число.

, ч. т. д.

Ток в переходном режиме ищем в виде:

.

Для момента коммутации имеем следующие выражения:

(1.32)

Из уравнения (1.31), записанного для , найдем

.

Из уравнений (1.32) находим , отсюда находим постоянные:

Окончательное выражение для переходного тока в первичном контуре выглядит следующим образом:

.

Переходный ток во вторичном контуре ищем в виде:

.

Для момента коммутации () запишем

Находим постоянные интегрирования и :

Запишем выражение переходного тока во вторичном контуре:

.

Характер переходного процесса иллюстрируют графики на рис. 1.21.

Рассмотрим предельные случаи.

А). Вторичный контур разомкнут .

В этом случае цепь описывается уравнениями:

, .

Б). Вторичный контур не имеет потерь

В этом случае цепь описывается уравнениями:

.

Отсюда получаем:

или .

Изменение переходного тока в случаях А) и Б) показано на рис. 1.22.

Можно заметить, что коэффициент рассеяния тем меньше, чем сильнее магнитная связь контуров. Из рис. 1.22 видно, что наличие короткозамкнутого вторичного контура уменьшает постоянную времени, и состояние установившегося режима достигается быстрее.