О расчете переходных процессов в сложных электрических цепях. Метод переменных состояния

С усложнением электрической цепи порядок дифференциальных уравнений цепи увеличивается. Возможность получения решения уравнений аналитическими методами исключается, приходиться применять приближенные решения. Наиболее эффективный путь - это расчет переходных процессов с помощью компьютеров. При этом обычно применяется метод конечных разностей. Идея этого метода весьма проста. Пусть имеем уравнение:

. (1.33)

Уравнение (1.33) называется уравнением состояния, оно определяет режим цепи. Под уравнением (системой уравнений) состояния понимается дифференциальное уравнение (система) I порядка, разрешенное относительно первой производной. называется переменной состояния ( может быть током или напряжением).

Введем разностную сетку, разделив отрезок интегрирования s (например, время переходного процесса, равное 4÷5 τ) уравнения на N равных частей. Расстояние между соседними точками () называется шагом сетки, а точки деления называются узлами сетками.

Производную можно представить конечной разностью:

где и - значения функции в точках и .

Обозначим Таким образом, дифференциальное уравнение можно заменить на разностное уравнение:

или . (1.34)

Уравнение (1.34) подсказывает следующую процедуру вычисления.

Начальные условия переходного процесса известны. В данном случае при ( - момент коммутации) .

Из (1.34) имеем при

Далее при

и т. д.

Допустим, что имеется сложная электрическая цепь и пусть для этой цепи составлены дифференциальные уравнения, описывающие переходный процесс. Эти уравнения нужно привести к нормальному виду (к уравнениям состояния):

Задавшись шагом сетки , переходим к разностным уравнениям:

или

Последовательность расчета такая же, что и при одном уравнении состояния.

Начальные условия: . Сделаем первый шаг и при имеем следующие формулы:

и т.д.

Рассмотренный метод решения переходных процессов с помощью уравнений состояния в электротехнической литературе носит название метода переменных состояния.