Интегрирование простейших рациональных дробей

Дробной рациональной функцией аргумента х называется отношение целых рациональных функций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь называется правильной. В противном случае - неправильной.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная - выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;

2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;

3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;

4. В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших

5. Простейшие дроби интегрируются в зависимости от их вида следующими способами:

, при n>1 , при n=1

(только при 4q > p2, иначе она разлагается на простейшие первого вида) при n=1 подстановка x + 0,5p = z, при n>1 сначала подстановка x + 0,5 p = z, потом тригонометрическая подстановка z = a tgt