Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Необходимые и достаточные условия экстремума функции
Определение 8.12. Пусть функция у=f (х) определена в некоторой окрестности точки х0. Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f (х), если существует такое 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. Если существует такое 
, 
, что для всех , удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
, то точка х0 называется точкой строгого максимума (минимума). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 8.14 (необходимое условие экстремума). Если функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х0 и точка х0 является точкой экстремума функции f (х), то либо производная f' (х0) обращается в нуль, либо не существует.
Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными.
Теорема 8.15 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f (х) дифференцируема в окрестности точки 
, за исключением может быть самой точки х 0, в которой она является непрерывной. Тогда:
а) если f' (х) > 0 при х < х0 и f'( х) < 0 при х > х0, то х0 — точка строгого максимума;
б) если f' (х) < 0 при х < х0 и f '(х) > 0 при х > х0, то х0 — точка строгого минимума;
в) если f' (х) в окрестности точки х0 не меняет знак, то экстремума нет.
Коротко можно сказать, что если производная f' (х) при переходе через точку х 0 меняет знак с плюса на минус, то х 0 - точка строгого максимума, а если с минуса на плюс, то х 0 - точка строго минимума. Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума. Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной в окрестности заданной точки.
В ряде случаев бывает удобным применить при изучении точек экстремума следующую теорему.
Теорема 8.16 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке х0 для функции f (х) выполняются условия:
f' (х0) = 0, 
. Тогда, если f''( х0) > 0, то f (х) имеет в точке х0 строгий минимум; если f "(х0) < 0, то f (х) имеет в точке х0 строгий максимум.
Date: 2015-09-05; view: 387; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |