Функций)

Если функции y = f (x) и y = g (x)

1) непрерывны на отрезке [a;b];

2) дифференцируемы на интервале (a; b);

3) производная g ′ (x) ≠ 0 на интервале (a; b).

Тогда на интервале (a; b) найдется по крайней мере одна точка x₀ такая, что

◄Из условия теоремы следует, что g ′ (x) ≠ 0. Это означает, что разность g (b) − g (a) ≠ 0. Действительно, если бы g (b) − g (a) = 0, то функция y=g(x), являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае g′(x) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке x₀ интервала (a; b), что противоречит условию. Введем вспомогательную Функцию K(x) =f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) K(x) непрерывна на отрезке [a;b], так как непрерывны функции у=f(x) и y=g(x);

2) функция K(x) имеет производную всюду в интервале (a; b), поскольку каждое слагаемое в правой части функции K(x) имеет производную на этом интервале;

3) K(a) = K(b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки x₀, что K '(x₀)= 0. Поэтому K’(x) =f’(x₀) - g’(x₀)=0. Отсюда следует ►

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g (x) = x.

Date: 2015-09-05; view: 341; Нарушение авторских прав