Задача 3.11 (18)

Рис. 3.22.

Стержень АВ (рис. 3.22) длиной 10 м скользит концами по сторонам прямого угла. В момент времени, когда стержень составляет угол j = 30° с вертикалью, скорость точки А равна м/с, ускорение точки А равно м/с2. Определить ускорение точки В и угловое ускорение стержня для заданного положения.

Решение

1. В качестве полюса выберем точку А, ускорение которой известно.

2. Для определения ускорения точки В составим векторное уравнение типа (3.10):

. (г)

3. Изобразим все векторы, входящие в состав уравнения (г), на рис. 3.23.

Рис. 3.23.

Ускорение точки В должно быть направлено по оси х, так как точка движется вдоль этой оси; примем, что` а В направлено в положительную сторону оси х. Если в результате решения значение а В будет положительным, то наше предположение о направлении` а В справедливо; если же а В получится отрицательным, то ускорение` а В в действительности направлено в противоположную сторону. Ускорение полюса А известно по условию задачи. Осестремительная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А направлена от В к полюсу.

Вращательную составляющую ускорения точки В при вращении вокруг полюса А направим перпендикулярно осестремительной составляющей, как показано на рис. 3.23, что соответствует направлению дуговой стрелки e против часовой стрелки. Если в результате решения значение будет положительным, то наше предположение о направлении и дуговой стрелки e справедливо; если же получится отрицательным, значит в действительности вектор и дуговая стрелка e направлены в противоположную сторону.

4. Из анализа векторного уравнения (г) видим, что в левой части уравнения находится одна неизвестная величина – модуль ускорения точки В. Следовательно, в правой части уравнения должно быть не более одной неизвестной величины. Этой неизвестной является угловое ускорение e.

Рис. 3.24.

Напомним, что угловая скорость w стержня должна определяться при решении задачи о скоростях. Определение скоростей выполним с помощью мгновенного центра скоростей, который находится на пересечении перпендикуляров АР и ВР (рис. 3.24), проведенных к направлениям скоростей` VA и` VВ (см. способ (б) п. 3.1.4). Угловая скорость стержня 1/с.

Отметим, что в формуле длина отрезка АР при движении стержня изменяется, поэтому определение углового ускорения e путем дифференцирования (как в задаче 3.10) здесь не дает результата.

Модуль осестремительного ускорения точки В при вращении вокруг полюса А равен

м/с².

Таким образом в векторном уравнении (г) осталось две неизвестные величины: модуль ускорения точки В (в левой части уравнения) и угловое ускорение e (в выражении в правой части уравнения). То есть задача относится к типу 3.

5. Проектируем векторное уравнение (г) на оси координат:

(х) ;

(у) .

1. Решая полученные уравнения, находим

а _В = 60м/с²;

м/с².

Отметим, что а _В и получились положительными; в соответствии со сказанным выше (см. п. 3 решения задачи) заключаем, что принятые направления векторов и соответствуют их действительным направлениям.

Зная модуль вращательного ускорения , находим:

1/с².