Стандартные операции над нечеткими множествами и их свойства. Расширенные операции над нечеткими множествами

Стандартные операции над нечеткими множествами и их свойства.

I Логические операции.

1) Включение

А и В – нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если для

Иногда говорят, что множество А доминирует над В.

2) Равенство

Множества А и В равны, если для

3) Дополнение

Множества А и В дополняют друг друга, если для

4) Пересечение

Пересечением двух нечетких множеств А и В называют наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно и в А, и в В.

Модой или модальным множеством для нечеткого множества А называют такое множество .

5) Объединение

Объединением двух нечетких множеств А и В называют наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, функция принадлежности которого:

6) Разность А-В

7) Дизъюнктивная сумма

У операций выполняются коммутативность, ассоциативность, идемпотентность, дистрибудивность, свойства с и теоремы де Моргана.

Не выполняются: .

I I Алгебраические операции

1) Алгебраическое произведение

2) Алгебраическая сумма

Для операций выполняются свойства коммутативности, ассоциативности, все свойства взаимодействия с пустым и универсальным множествами, теоремы де Моргана. Не выполняются идемпотентность, дистрибутивность.

Выполняются:

На основе операции алгебраического произведения, определяется операция возведения в степень нечеткого множества А, где > 0.

Операция концентрирования con(A)=A²

Операция растяжения dil(A)=A^0.5

3) Умножение нечеткого множества на число

4) Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть у нас есть

тогда

5) Декартово произведение:

Пусть заданы НМ заданные на соответственно, тогда декартово произведение задано на множестве с функцией принадлежности:

Расширенные операции над нечеткими множествами.

1)

a. Ограниченность: С(0)=1, С(1)=0.

b. Аксиома монотонного невозрастания, если А< В, то С(А)>=С(B), для a,b [0,1] Эти 2 аксиомы называются аксиоматическим базисом для дополнения.

c. С- непрерывная функция

d. С(С(а))=а, для любого а из диапазона [1,0]

Функция дополнения Ягера (Yager)

Для значения функции w=1 вид функции дополнения прямая под 45 градусов, при увеличении значения w она будет стремиться к ступенчатому виду, и наоборот при уменьшении она будет приближаться к углу начала координат.

2) Нечеткое разбиение. (ЭТО ЛУЧШЕ НЕ ПИСАТЬ!)

Совокупность нечетких множеств (А₁, А₂,…, А_n) на множестве Х, если выполнены следующие аксиомы:

1.

2.

3. …