Для любого элемента и любого вещественного числа

3°. Для любых двух элементов и справедливо следующее неравенство:

, (2.3)

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского).

Теорема 2.2 Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента определить равенством

. (2.4)

Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (2.4), для любых двух элементов и справедливо неравенство треугольника (2.3).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами и этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом между элементами и тот (изменяющийся в пределах от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношением

.

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (2.1) дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.

Пример 5 Пусть – евклидово пространство, элементами которого являются действительные функции, непрерывные на отрезке . Скалярное произведение двух произвольных элементов и пространства определим известным способом . Требуется найти угол между элементами и .

Решение. Согласно определению скалярного произведения

На основании формулы угла , следовательно, угол между элементами и пространства равен .

Далее договоримся называть два произвольных элемента и евклидова пространства ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю (в этом случае косинус угла между элементами и будет равен нулю).

Сумму двух ортогональных элементов и будем называть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами и .

Теорема 2.2 (Пифагора) Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов.

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.

В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной , неравенство Коши-Буняковского приводится к виду , а неравенство треугольника – к виду .

В евклидовом пространстве всех непрерывных на сегменте функций норма элемента равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

, .

В евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей вещественных чисел норма любого элемента равна

,

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

,

.

Два евклидовых пространства Ε и Е' называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам и пространства Ε отвечают соответственно элементы и пространства Е', то элементу отвечает элемент , элементу (при любом вещественном λ) отвечает элемент и скалярное произведение равно скалярному произведению .

Таким образом, евклидовы пространства Ε и Е' изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства и если этот изоморфизм сохраняет величину скалярного произведения соответствующих пар элементов.

Теорема 2.3 Все евклидовы пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

Данная теорема позволяет утверждать, что если в каком-нибудь конкретном -мерном евклидовом пространстве Е' доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения на числа и скалярного перемножения элементов, то эта теорема справедлива и в совершенно произвольном -мерном евклидовом пространстве Е.

2.2 Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства

Будем говорить, что элементов -мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если

(2.5)

Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех свободных векторов или совокупность элементов , , …, евклидова пространства всех упорядоченных совокупностей вещественных чисел.

Докажем теперь следующую основную теорему.

Теорема 2.4 Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве найдется линейно независимых элементов .

Докажем, что можно построить элементов , линейно выражающихся через , и, образующих ортонормированный базис (т.е. удовлетворяющих соотношениям (2.5)).

Проведем доказательство возможности построения таких элементов методом математической индукции.

Если имеется только один элемент , то для построения элемента с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент , т.е. положим

.

Из элементов и образуем . Число возьмем таким, чтобы . Имеем

.

Следовательно, а . Положим

.

Единичный вектор ортогонален вектору . Построим теперь вспомогательный вектор . Подберем числа и так, чтобы . Для определения этих чисел имеем уравнения

.

Следовательно, , , а .

Единичный вектор

.

очевидно, ортогонален единичным векторам и .

Продолжая процесс создания попарно ортогональных единичных векторов , , , …, построим за конечное число шагов ортонормированный базис – мерного евклидового пространства.

Заметим, что различных ортонормированных базисов евклидового пространства бесконечно много, так как бесконечно много базисов , из которых процессом ортогонализации можно создавать ортонормированные.

Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе линейно независимых элементов системы попарно ортогональных элементов , , …, , норма каждого из которых равна единице:

Указанный алгоритм обычно называют процессом ортогонализации линейно независимых элементов ·(процесс ортогонализации Грамма-Шмидта).

Замечание. Конечно, в каждом -мерном евклидовом пространстве существует много ортонормированных базисов. Действительно, если например, строить ортонормированный базис процессом ортогонализации одних и тех же линейно независимых элементов , то, начиная процесс ортогонализации с различных элементов , мы придем к различным ортонормированным базисам.

Пример 6 Применить процесс ортогонализации Грамма-Шмидта к системе векторов , , .

Решение. Сначала построим ортогональный базис :

,

или ,

или .

Построен ортогональный базис . Получим из него ортонормированный базис :

,

,

.

Свойства ортонормированного базиса. Пусть , , …, – произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства, а и – два произвольных элемента этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения этих элементов через их координаты относительно базиса , , …, .

Обозначим координаты элементов и относительно базиса , , …, соответственно через , , …, и , , …, , т.е. предположим, что , . Тогда

или

. (2.7)

Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.

Рассмотрим теперь в -мерном евклидовом пространстве совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных элементов и через координаты этих элементов относительно указанного базиса.

Обозначим координаты элементов и относительно базиса соответственно через , , …, и , , …, , т.е. предположим, что

, .

Пользуясь аксиомами скалярного произведения, получим

.

Таким образом, в произвольном базисе скалярное произведение двух любых элементов , определяется равенством

, (2.8)

где матрица – матрица Грамма, () имеет элементы ; ; – матрицы-строки координат элементов и соответственно.

Матрице Грамма поставим в соответствие ее определитель: .

Свойства определителя Грамма:

1. .

2. – линейно зависимы.

3. Для , – квадрат длины вектора;

, – квадрат площади;

, – квадрат объема;

, – квадрат объема -мерного параллелепипеда, со сторонами .

4. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта не меняет определитель Грамма.

Пример 7 В пространстве с матрицей Грамма найти угол между векторами и .

Решение. Напомним, что косинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле:

.

Найдем скалярное произведение :

.

Найдем нормы векторов и по формулам и :

;

.

Итак, .

Ответ: .

2.3 Разложение -мерного евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения

Два подпространства и евклидова пространства называются ортогональными , если , : или .

Лемма 2.1 Если , то .

Пусть – произвольное подпространство -мерного евклидова пространства Е.

Совокупность всех элементов пространства Е, ортогональных к каждому элементу подпространства , называется ортогональным дополнением подпространства .

Пример 8 – пространство всех геометрических (свободных) векторов, – подпространство всех векторов, параллельных некоторой плоскости; – подпространство всех векторов, перпендикулярных данной плоскости.

Пример 9 Дано подпространство . Определить базис ортогонального дополнения .

Решение. Пусть – вектор из ортогонального дополнения . Тогда , т.е. Найдем ФСР полученной системы:

		–1
	3,5	–0,25

Векторы и образуют базис ортогонального дополнения .

Пусть и – два произвольных элемента множества , а какой-либо элемент подпространства . Очевидно, и по свойству векторов множества . Так как

,

то . Для произвольного числа имеем . Следовательно, и элемент . Таким образом, множество является подпространством евклидового пространства Е.

Лемма 2.2 (критерий) Пусть , , …, – базис в подпространстве . Вектор .

Теорема 2.5 Евклидово пространство Е есть прямая сумма произвольного подпространства и его ортогонального дополнения , т.е. .

Следствие 1 .

Замечание В равенстве теоремы 2.4 вектор – ортогональная проекция вектора на подпространство, – ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

Пример 10 Определить проекцию вектора на подпространство и ортогональную составляющую вектора относительно подпространства .

Решение.

І способ.

1) Построить ортонормированный базис данного подпространства. Координаты векторов и не пропорциональны, следовательно, векторы и образуют базис подпространства . Применим к этому базису процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Сначала по , строим ортогональный базис , :

; ;

;

или .

Как видно, , т.к. .

Построим теперь ортонормированный базис подпространства :

;

.

2) Найти скалярные произведения данного вектора и векторов найденного базиса:

,

.

3) Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство и ортогональную составляющую вектора относительно подпространства :

;

.

ІІ способ.

1) Построить базис данного подпространства. Как было указано в первом способе данные векторы и являются линейно независимыми, значит образуют базис.

2) Так как по определению , представляющий ортогональную проекцию на подпространство , принадлежит , то его можно выразить через базисные векторы этого подпространства, т.е. . Таким образом, получим

.

Домножим последнее равенство скалярно на :

, т.к. .

Аналогично,

.

Вычислив соответствующие скалярные произведения:

, , , , ,

получим систему уравнений:

Решив систему, получим: , , а, значит

.

Из равенства будем иметь:

.

 

2.4 Комплексное евклидово (унитарное) пространство

 

Линейное пространство над полем комплексных чисел называется комплексным евклидовым пространством или унитарным, если в нём определена операция скалярного произведения двух любых векторов, т.е. указано правило, по которому каждой паре векторов и пространства ставится в соответствие комплексное число , при этом выполняются следующие условия (аксиомы скалярного произведения):

1.

2. .

3. .

4. и лишь при .

Здесь – произвольное комплексное число; – число, сопряженное числу ; – действительное число.

Установим необходимые для дальнейшего свойства скалярного произведения.

Свойство 1 .

Доказательство. Согласно аксиомам 1 и 3 скалярного произведения имеем

.

Свойство 2 .

Доказательство. Согласно аксиомам 1 и 2 скалярного произведения имеем

.

Комплексное евклидово пространство можно сделать нормированным, если каждому вектору поставить в соответствие действительное число . Проверка аксиом нормы осуществляется также, как в вещественном евклидовом пространстве. Она основана на использовании неравенства Коши-Буняковского для унитарного пространства

.

Доказательство этого неравенства аналогично доказательству неравенства Коши-Буняковского для вещественного евклидова пространства.

В унитарном пространстве понятие угла между двумя векторами не определяется, однако два вектора и таких, что , называются ортогональными.

В комплексном евклидовом пространстве существуют ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации произвольного базиса унитарного пространства в точности совпадает с описанным выше процессом ортогонализации базиса вещественного евклидова пространства.

Пусть , , …, – ортонормированный базис комплексного евклидова пространства, а и – два произвольно взятых вектора этого пространства. Тогда на основании аксиом и свойств скалярного произведения

,

где , , …, – числа, сопряженные комплексным числам , , …, . Таким образом, скалярное произведение двух векторов унитарного пространства, в котором выбран ортонормированный базис, равно сумме произведений координат первого вектора на соответствующие сопряженные значения координат второго вектора.