Плоская гармоническая волна

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим, например, декартову компоненту поля E (z, t). Пусть при z = 0 E (0, t) = E ₀cos(wt), т. е. напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. Тогда в соответствии с (1.11) в области с z ≥ 0 будет распространяться плоская гармоническая волна .

В этом выражении Е ₀ – амплитуда волны, w – круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний n = 1/ Т соотношениями . Параметры k и , определяемые как , есть соответственно волновое число и длина волны. Величина j = wt – kz называется полной фазой волны и зависит от t и z. Фазу j (z) = kz, связанную с изменением пути, пройденного волной, называют набегом фазы или фазовым сдвигом.

Геометрическое место точек с одинаковым значением фазы называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне волновой фронт представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором . Поверхности постоянных фаз имеют вид плоскостей, перпендикулярных вектору (рис. 1. 1). Введем волновой вектор .

Вектор указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу k = w / c. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении через x, и проведем вектор из начала координат в произвольную точку волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 1.1, .

Используя последнее соотношение, получаем Теперь поле волны можно представить в виде . Р и с. 1.1

При гармоническом изменении во времени напряженностей электрического и магнитного полей частота остается постоянной. В оптике часто говорят не о гармонической, а о монохроматической волне. Монохроматический означает “одноцветный”. Термин этот возник потому, что в видимом диапазоне глаз реагирует на изменение частоты излучения как на изменение цвета.

В дальнейшем для зависимости напряженности поля в волне от координат и времени вместо удобно использовать комплексную запись, принимая во внимание формулу Эйлера

.

Величина Е ₀ в может быть как действительной, так и комплексной. Учитывая, что в общем случае: и tg j = Im(E ₀)/Re(E ₀), запишем выражение в виде ,

где | E ₀| – амплитуда плоской волны, j – начальная фаза колебаний в точке = 0. Знак “Re” и знак модуля при записи будем опускать, не забывая, однако, о том, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений. .

Комплексная запись особенно удобна потому, что при ее использовании дифференцирование напряженности поля по времени ¶/¶ t сводится, как видно из, просто к умножению на i w. Скалярное произведение можно записать в виде (k_x · x + k_y · y + k_z · z), поэтому дифференцирование , например, по координате x сводится к умножению на (ik_x).