Математическая модель изгиба

Изгиб это такой вид нагружения, когда внешние нагрузки направлены только перпендикулярно оси стержня. Математическая модель изгиба состоит из четырех дифференциальных уравнений:

,

,

,

,

где Q_y – поперечная сила в сечении;

М_х– изгибающий момент в сечении;

q_y – интенсивность внешних сил, направленных перпендикулярно оси стержня;

j – угол поворота сечения;

V – прогиб стержня, т.е. вертикальное перемещение сечения стержня;

Е – модуль Юнга материала, из которого выполнен стержня;

J_х – осевой момент инерции поперечного сечения стержня.

Решение данных дифференциальных уравнений имеет вид

Q_y(z)= Q_y(0) – Ф_Qy,

М_х(z)= М_х(0) + Q_y(0)×z – Ф_М,

j(z)= j(0) + М_х(0)×z/EJ_x + Q_y(0)×z²/2EJ_x – Ф_j,

V(z)= V(0) – j(0)z – М_x(0)×z²/2EJ_x– Q_y(0)×z³/6EJ_x+ Ф_V,

где Q_y(0) – поперечная сила, действующая в сечении с координатой z=0;

М_х(0) – изгибающий момент, действующий в сечении с координатой z=0;

j(0) – угол поворота сечения с координатой z=0,

V(0) – вертикальное перемещение сечения с координатой z=0,

Ф_Qy – нагрузочная функция поперечной силы, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_М – нагрузочная функция изгибающего момента, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_j – нагрузочная функция углов поворота, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_V – нагрузочная функция прогибов, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню.

Значения нагрузочных функций зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис.13):

при z£a Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)=0, Ф_j(z)=0, Ф_V(z)=0;

при z³a Ф_Q(z)=P, Ф_М(z)=P(z-a), Ф_j(z)= , Ф_V(z)= .

б) начало распределенной нагрузки (рис.14):

при z£c Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)=0, Ф_j(z)=0, Ф_V(z)=0;

при z³c Ф_Q(z)=q(z-c), Ф_М(z)=q(z-c)²/2, Ф_j(z)= , Ф_V(z)= .

Рис. 14

в) окончание распределенной нагрузки, т.е. распределенная нагрузка заканчивается раньше чем стержень (рис.15):

при z£d Ф_Q(z)=q(z-c), Ф_М(z)=q(z-c)²/2, Ф_j(z)= , Ф_V(z)= ;

при z³d Ф_Q(z)=q(z-c) – q(z-d), Ф_М(z)=q(z-c)²/2 – q(z-d)²/2,

Ф_j(z)= – , Ф_V(z)= – .

Рис. 15

в) сосредоточенный момент (рис.16):

при z£b Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)=0, Ф_j(z)=0, Ф_V(z)=0;

при z³b Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)=L, Ф_j(z)= , Ф_V(z)= .

Рис. 16

Для определения силы, момента и перемещений в нулевом сечении используют граничные условия, которые приведены в таблице:

Табл. 3

Левый конец стержня	Правый конец стержня длиною l
	V(0)=0; j(0)=0		V(l)=0; j(l)=0
	V(0)=0; Mx(0)=0		V(l)=0; Mx(l)=0
	V(0)=0; Mx(0)=0		V(l)=0; Mx(l)=0
	Qy(0)=0; Mx(0)=0		Qy(l)=0; Mx(l)=0
	V(0)=0;Mx(0)=–L		V(l)=0;Mx(l)=L
	V(0)=0; Mx(0)=L		V(l)=0;Mx(l)=–L
	V(0)=0;Mx(0)=–L		V(l)=0;Mx(l)=L
	V(0)=0; Mx(0)=L		V(l)=0;Mx(l)=–L
	Qy(0)=–P;Mx(0)=0		Qy(l)=P; Mx(l)=0
	Qy(0)=P; Mx(0)=0		Qy(l)= –P; Mx(l)=0
	Qy(0)=0;Mx(0)=–L		Qy(l)=0;Mx(l)=L
	Qy(0)=0; Mx(0)=L		Qy(l)=0; Mx(l)=–L