Математическая модель растяжения

Сжатие-растяжение это такой вид нагружения когда все внешние нагрузки направлены только вдоль оси стержня. Математическая модель сжатия-растяжения состоит из двух дифференциальных уравнений:

,

,

где N – продольная сила в сечении;

q_z – интенсивность внешних сил, направленных вдоль оси стержня;

W – продольное перемещение, т.е. перемещение сечения стержня вдоль оси стержня;

Е – модуль Юнга материала, из которого выполнен стержня;

F – площадь поперечного сечения стержня.

Решение данных дифференциальных уравнений имеет вид

N(z)=N(0) – Ф_N,

W(z)=W(0)+N(0)/EF – Ф_W,

где N(0) – сила, действующая в сечении с координатой z=0;

W(0) – продольное перемещение сечения с координатой z=0;

Ф_N – нагрузочная функция продольных сил, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_W – нагрузочная функция продольных перемещений, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Значения нагрузочных функций зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис.7):

при z£a Ф_N(z)=0, Ф_W(z)=0;

при z³a Ф_N(z)=P, Ф_W(z)= .

б) начало распределенной нагрузки (рис.8):

при z£c Ф_N(z)=0, Ф_W(z)=0;

при z³c Ф_N(z)=q(z-c), Ф_W(z)= .

в) окончание распределенной нагрузки, т.е. распределенная нагрузка заканчивается раньше, чем стержень (рис.9):

при z£d Ф_N(z)=q(z-c), Ф_W(z)= ;

при z³d Ф_N(z)=q(z-c) – q(z-d), Ф_W(z)= –

Для определения силы и перемещения в нулевом сечении используют граничные условия, которые приведены в таблице:

Табл.1

Левый конец стержня	Правый конец стержня длиною l
	W(0)=0		W(l)=0
	W(0)=0		W(l)=0
	N(0)=0		N(l)=0
	N(0)=0		N(l)=0
	N(0)= –P		N(l)=P
	N(0)= –P		N(l)=P
	N(0)=P		N(l)= –P
	N(0)=P		N(l)= –P