РАМА (стержневые системы). Рамой называется стержневая конструкция, состоящая из жестко соединенных прямых стержней

Рамой называется стержневая конструкция, состоящая из жестко соединенных прямых стержней. В дальнейшем рассматриваются только рамы, для которых оси всех стержней и внешние нагрузки лежат в одной плоскости. Такие рамы называются плоскими. Рамы могут быть статически определимыми и статически неопределимыми. Статически определимой называется рама, у которой число наложенных связей равно числу степеней свободы. Если же число наложенных связей будет больше, то такая система называется статически неопределимой, а разница между ними определяет степень статической неопределимости плоской рамы:

n = m – 3,

где n – степень статической неопределимости,

m – число наложенных связей,

3 – количество уравнений равновесия для плоскости.

Для решения рам применяют два способа.

1. Метод начальных параметров. Для каждого из стержней вводится своя система координат, записываются уравнения прогибов и для решения задачи набирается необходимое количество граничных условий и условий сопряжения. Применяется для любого типа рам.

2. Метод сил. Применяется только для статически неопределимых рам. Для раскрытия статической неопределимости заменяют заданную систему эквивалентной статически определимой системой. Для этого необходимо в заданной системе отбросить лишние связи и заменить их неизвестными реакциями опор X_i. Эти неизвестные реакции можно найти, воспользовавшись канонической системой уравнений метода сил.

Метод сил применяется только для статически неопределимых систем. Если на систему наложено связей больше, чем, возможно, составить уравнений равновесия для их определения, то такая система называется статически неопределимой. По сравнению со статически определимыми, неопределимые системы имеют дополнительные связи, которые называют лишними. Лишними связи называются условно, так как они обеспечивают необходимую прочность и жесткость конструкции. Усилия в лишних связях называются лишними неизвестными; их число совпадает с числом лишних связей, которое определяет степень статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости можно найти как разность между числом искомых усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для их получения.

Рассмотрим этапы расчета статически неопределимой системы методом сил:

1. Устанавливаем степень статической неопределимости системы, то есть число лишних связей.

2. Удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой, которая называется основной системой. Выбор лишних связей зависит от желания расчетчика, так что для одной и той же статически неопределимой исходной системы возможны различные варианты основных систем. Однако нужно следить за тем, чтобы каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональный выбор системы упрощает расчет.

Таким образом, основной системой называется любой из статически определимых вариантов рассматриваемой системы, полученный освобождением ее от лишних связей.

3. Загружаем основную систему заданной нагрузкой и лишними неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей. Такая система называется эквивалентной системой.

4. Для эквивалентности основной системы с исходной неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформация основной системы не отличалась от деформации исходной статически неопределимой. Для этого приравнивают к нулю перемещения точек приложения неизвестных усилий по направлению их действия. Из полученных таким образом уравнений определяют значения лишних неизвестных.

Определять перемещения соответствующих точек основной системы лучше при помощи интеграла Мора.

Каноническая система уравнений метода сил имеет вид:

где x_i – «лишние» неизвестные реакции связей;

n – степень статической неопределимости;

Δ_ip – перемещение в основной системе в направлении i-той неизвестной под действием заданных нагрузок;

δ_ik – перемещение в основной системе в направлении i-той неизвестной под действием k-той неизвестной.

Причем δ_ik = δ_ki.

Перемещения определяются по интегралу Мора

Δ_ip = , (9.1)

где M_x(z) – изгибающий момент от заданных нагрузок,

M_x⁰(z) – изгибающий момент от единичной силы,

EJ_x – жёсткость при изгибе.

10. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ

10.1 Понятие главных напряжений и их определение

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Они записываются в виде следующего выражения:

s₃ – I₁×s₂ + I₂×s₁ – I₃ = 0 (10.1)

где I₁= s_x + s_y + s_z,

I₂= s_y×s_z + s_x×s_z + s_x×s_у – t_xz² – t_xу² – t_уz²,

I₃= s_x×s_y×s_z + 2×t_xy×t_yz×t_zx – s_y×t_xz² – s_z×t_xу² – s_х×t_уz².

Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Решая кубическое уравнение (10.1), получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: s₁ ³ s₂ ³ s₃. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.

На основе полученных значений главных напряжений можно построить круговую диаграмму Мора, которая определяет область существования нормальных и касательных напряжений на любой площадке проведенной в данной точке. Круговая диаграмма также позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

s₁ – максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

s₃ – минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

t_max = – максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45°.

Рис. 20

10.2 Условие прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в каждой точке тела.

Наиболее просто эта задача решается при простых видах деформации, в частности, при одноосных напряженных состояниях, т.к. в этом случае экспериментально легко установить значение предельных (опасных) напряжений. Под последними понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала).

Так, испытания образцов из определённого материала на простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей определить значение опасных напряжений:

s_т – предел текучести

s_о =

s_в – временное сопротивление.

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые при растяжении [s₊] или сжатии [s_–] напряжения, обеспечивая коэффициент запаса против наступления предельного состояния.

Таким образом, условие прочности при одноосном напряженном состоянии принимает вид:

s₁£[s₊], |s₃|£ [s_–].

Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при сложном напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три главных напряжения s₁, s₂, s₃ не равны нулю.

В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого объема испытаний.

Другой путь решения задачи заключается в установлении критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформированного состояния). Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение. Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставлять данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением, и установить при этом такое эквивалентное (расчётное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса.

Под коэффициентом запаса в общем случае напряженного состояния понимают число n, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния s₁, s₂, s₃, чтобы оно стало предельным.

В общем виде условие прочности можно записать:

σ_max. £[σ], τ_max. £[τ], (10.2)

где σ_max. – максимальное нормальное напряжение,

[σ] – допускаемое нормальное напряжение,

τ_max – максимальное касательное напряжение,

[τ] – допускаемое касательное напряжение.

Максимальное напряжение берётся для самой опасной точки сечения (без учёта знака) с эпюры.

10.3 Гипотезы прочности

В настоящее время разработано достаточно большое число гипотез прочности. Ниже рассмотрим некоторые из них.

Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений). Согласно этой теории, выдвинутой Галилеем (XVII в.), преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Нарушение прочности в общем случае напряженного состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения (s₀). Последнее легко устанавливается при простом растяжении на образцах из определённого материала.

Условие нарушения прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид s₁=s₀. Следовательно, условие прочности с учетом коэффициента запаса n будет

s₁£[s]= . (10.3)

Таким образом, первая теория прочности из трех главных напряжений учитывает лишь одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.

Опытная проверка показывает, что эта теория прочности непригодна для большинства материалов и дает, в общем, удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.

Вторая теория прочности (теория наибольших линейных деформаций). Согласно второй теории прочности, предложенной Мариоттом (1682), принимается в качестве критерия прочности наибольшая по абсолютной величине линейная деформация. По этой теории нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация emax достигает своего опасного значения e₀. Последнее определяется при простом растяжении образцов из определённого материала.

Таким образом, условия разрушения и прочности соответственно будут:e_max=e₀, e_max£[e]= . Используя обобщенный закон Гука, легко выразить условие прочности в напряжениях:

e_max=e₁= [s₁-m(s₂+s₃)].

При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого напряжения [s], мы тем самым для наибольшего относительного удлинения допускаем величину [e]= .

[s₁-m(s₂+s₃)] £ [s]. (10.4)

Опытная проверка этой теории также показала, что она неприменима для большинства материалов и дает удовлетворительные результаты лишь для хрупкого состояния материала (например, легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории прочности в виде (10.4) недопустимо для материалов, не подчиняющихся закону Гука, или за пределами пропорциональности, а также когда наибольшая по абсолютной величине деформация отрицательна.

Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений). Согласно третьей теории прочности, предложенной Кулоном (1773), в качестве критерия прочности принимается величина наибольшего касательного напряжения. По этой теории нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение t_max достигает своего предельного значения t₀. Последнее определяется в момент разрушения при простом растяжении.

Условия разрушения и прочности имеют вид t_max=t₀, t_max£[t]= . Так как согласно круговой диаграмме Мора t_max = , t₀ = , то условия разрушения и прочности можно выразить через главные напряжения:

s₁-s₃ = s₀, s₁-s₃ £ [s]. (10.5)

Третья теория прочности, в общем, хорошо подтверждается опытами для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Для хрупких материалов она неприменима.

Недостаток третьей теории заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения s2, которое, как показывают опыты, оказывает также некоторое влияние на прочность материала.

10.4 Условие жёсткости

Условие жесткости по логике строится так же, как и условие прочности. Однако ограничения накладываются не на напряжения, а на изменение формы стержня (вала, балки), т.е. деформации. Для разных видов нагружения условия жесткости имеют вид:

§ при растяжении (сжатии)

W_max £[W]

§ при кручении

Θ_max £[Θ]

§ при изгибе

φ_max £[φ], V_max £[V].

В квадратных скобках указываются соответствующие допускаемые величины для заданной конструкции:

[W] – допускаемое продольное перемещение,

[Θ] – допускаемый угол закрутки,

[φ] – допускаемый угол поворота сечения,

[V] – допускаемый прогиб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение прочности.

2. Дайте определение жёсткости.

3. Дайте определение устойчивости.

4. Дайте определение расчётной схемы.

5. Дайте определение бруса.

6. Дайте определение массива.

7. Дайте определение оболочки.

8. Дайте определение балки.

9. Дайте определение поперечного сечения бруса.

10. Дайте определение деформации.

11. Перечислите гипотезы и допущения «Сопротивления материалов».

12. Перечислите внутренние силовые факторы.

13. Дайте определение грузового участка.

14. Дайте определение границы участка.

15. Дайте определение граничного условия.

16. Запишите формулу нахождения статического момента.

17. Запишите формулу нахождения осевого момента инерции.

18. Запишите формулу нахождения центробежного момента инерции.

19. Запишите формулу нахождения осевого момента сопротивления.

20. Запишите формулу нахождения полярного момента инерции.

21. Запишите формулу нахождения полярного момента сопротивления.

22. Запишите формулу координат центра тяжести сечения.

23. Запишите формулу осевого момента инерции при параллельном переносе осей.

24. Дайте определение центральных осей.

25. Дайте определение главных осей.

26. Дайте определение напряжения.

27. Дайте определение нормального напряжения.

28. Дайте определение касательного напряжения.

29. Запишите формулу нормальных напряжений по плоскости поперечного сечения.

30. Запишите формулу нормальных напряжений при растяжении.

31. Запишите формулу нормальных напряжений при изгибе.

32. Запишите формулу касательных напряжений при кручении.

33. Запишите формулу касательных напряжений при изгибе.

34. Запишите дифференциальные уравнения математической модели растяжения.

35. Запишите дифференциальные уравнения математической модели кручения.

36. Запишите дифференциальные уравнения математической модели изгиба.

37. Запишите дифференциальные уравнения математической модели криволинейного стержня.

38. В чём суть метода начальных параметров при решении рам.

39. В чём суть метода сил при решении рам.

40. Запишите каноническую систему уравнений метода сил.

41. Запишите условие прочности.

42. Запишите условие жёсткости.

43. Дайте определение главных напряжений.

44. Дайте определение допускаемых напряжений.

45. Дайте определение допускаемых перемещений.