Пример оформления решения по РГР II семестра. 1. Записать уравнение продольной силы N(z) и продольного перемещения W(z), граничные условия задачи

ЗАДАЧА 2.1 Растяжение – сжатие.

Дано:

	q, кН/м	l, м

Требуется:

1. Записать уравнение продольной силы N(z) и продольного перемещения W(z), граничные условия задачи, рассчитать значение продольной силы и продольного перемещения по участкам.

2. Выполнить чертёж схемы и эпюр в масштабе. Определить опасное сечение.

3. Из условий прочности и жёсткости подобрать размер квадратного поперечного сечения, приняв допускаемое напряжение [σ]=160 МПа и допускаемое перемещение [W]=0,002· l.

Решение:

Совместим начало координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на 2 участка и запишем уравнения продольных сил и линейных перемещений:

N(z)=N(0)│_I + q(z- l)│_II

W(z)=W(0) + N(0)z/EF│_I + q(z- l)²/2EF│_II

Г.У.: W(0)=0, W(2 l)=0 → N(0)= – 2.5 кН

Построение графиков осуществляется по участкам.

I уч. 0 ≤ z ≤ l,

N(0)=N(l)=-2,5 кН,

W(0)=0, W(l)=-2,5/EF.

II уч. l ≤ z ≤ 2 l

N(l)=-2,5 кН; N(2 l)=7,5кН.

W(l)=-2,5/EF, W(2 l)=0.

Исследование на экстремум:

N(0) + q(z₁- l)=0, → z₁=1.25 м

W(z₁)=W(0)+N(0)z₁/EF+q(z₁- l)²/2EF=-2,81/EF

Условие прочности: опасное сечение z=2 l. σ_max ≤ [σ], где σ_max=N_max/F. Таким образом, F =N_max/[σ],а с учетом, что F= a², получаем

а_пр= = =0,0068 м → 8 мм

Условие жёсткости: опасное сечение z=z₁. W_max ≤[W]. С эпюры линейных перемещений 2,81/(EF)=[W], откуда F= =а², т.е. значит

а_ж= =0,0018 м → 2 мм

Окончательно выбираем сечение, удовлетворяющее условиям прочности и жёсткости: а=8 мм.

ЗАДАЧА 2.2 Кручение.

Дано:

	m, кН·м/м	l, м

Требуется:

1. Записать уравнение крутящего момента M_к(z) и угла закрутки Q(z), граничные условия задачи, рассчитать значение крутящего момента и угла закрутки по участкам.

2. Выполнить чертёж схемы и эпюр в масштабе. Определить опасное сечение.

3. Из условий прочности и жёсткости подобрать круглое поперечное сечение, приняв допускаемое напряжение [τ]=90 МПа и допускаемый угол закрутки [Q]= 0,002· l.

Решение:

Совместим начало координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на 2 участка и запишем уравнения крутящего момента и углов закрутки:

M_к(z)=M_к(0) – mz│_I + m(z- l)│_II

Θ(z)=Θ(0) + M_к(0)z/GJ_ρ – mz²/2GJ_ρ│_I + m(z- l)²/2GJ_ρ│_II

Г.У.: Θ(0)=0,Θ(2 l)=0 → M_к(0)=3.75 кН·м.

Построение графиков осуществляется по участкам.

I уч. 0 ≤ z ≤ l,

M_к(0)=3.75кН·м, M_к(l)=-1.25кН·м.

Θ (0)=0, Θ(l)=1.25/GJ_ρ.

II уч. l ≤ z ≤ 2 l

M_к(l)=-1.25 кН·м; M_к(2 l)=-1.25 кН·м.

Θ(l)=1.25/GJ_ρ, Θ(2 l)=0.

Исследование на экстремум:

M_к(0) – mz₁=0, → z₁=0.75 м

Θ(z₁)= M_к(0)z₁/GJ_ρ + m(z₁- l)²/2GJ_ρ =1.4/GJ_ρ

Условие прочности: опасное сечение z=0. τ_max ≤ [τ], где τ_max= M _{к max}/W_ρ, где полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле Wρ=0.2d³ .Таким образом,

d_пр= = =0,059 м → 60 мм

Условие жёсткости: опасное сечение z=z₁. Θ_max ≤ [Θ], где Θ_max=1.4/GJ_ρ, где для кольцевого сечения полярный момент инерции J_ρ=0.1d⁴. Таким образом,

d_ж= 0,081 м → 82 мм

Окончательно выбираем сечение, удовлетворяющее условиям прочности и жёсткости: d=82 мм.

ЗАДАЧА 2.3 Поперечный изгиб.

Дано:

	P, кН	L, кН·м	q, кН/м	l, м

Требуется:

1. Записать уравнение поперечной силы Q_y(z), изгибающего момента M_x(z), угла поворота φ(z), вертикального перемещения V(z) и граничные условия задачи. Рассчитать значения Q_y, M_х, φ и V по участкам.

2. Выполнить чертёж схемы и эпюры в масштабе (при необходимости исследовать на экстремум).

3. Из условий прочности и жёсткости подобрать указанное в исходных данных поперечное сечение, приняв допускаемое напряжение [σ]=160 МПа и допускаемый прогиб [V]=0,002· l.

Решение:

Совместим начало координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на 2 участка и запишем уравнения поперечной силы, изгибающего момента, угла поворота и прогиба:

Q_y(z)=Q_y(0)│_I – Р + q(z- l)│_II

M_x(z)= M_x(0) + Q_y(0)z│_I – P(z- l) + q(z- l)²/2│_II

φ(z)=φ(0) + M_x(0)z/EJ_x + Q_y(0)z²/2EJ_x│_I –

– P(z- l)²/2EJ_x + q(z- l)³/6EJ_x│_II

V(z)=V(0) – φ(0)z – M_x(0)z²/2EJ_x –

–Q_y(0)z³/6EJ_x│_I + P(z- l)³/6EJ_x – q(z- l)⁴/24EJ_x│_II

Г.У.: M_x(0)=L, M_x(2 l)=0, V(0)=0, V(2 l)=0 → Q_y(0)=2.1 кН, φ(0)=-2.35/EJ_x

Построение графиков осуществляется по участкам.

I уч. 0 ≤ z ≤ l,

Q_y(0)=2.1 кН, Q_y(l)=2.1 кН.

M_x(0)=2 кН·м, M_x(l)=4.1 кН·м.

φ(0)=-2.35/EJ_x, φ(l)=-0.69/EJ_x.

V(0)=0, V(l)=1/EJ_x.

II уч. l ≤ z ≤ 2 l.

Q_y(l)=-12.9 кН, Q_y(2 l)=22.9 кН.

M_x(l)=4.1 кН·м, M_x(2 l)=-3.18 кН·м.

φ(l)=0.69/EJ_x, φ(2 l)=0.

V(l)=1/EJ_x, V(2 l)=0.

Исследование на экстремум:

1. M_x(z₁)= M_x(0) + Q_y(0)z₁ – P(z₁- l) + q(z₁- l)²/2=0, → z₁=1,37 м

φ(z₁)=φ(0)+M_x(0)z₁/EJ_x+ Q_y(0)z₁²/2EJ_x– P(z₁- l)²/2EJ_x + q(z₁- l)³/6EJ_x=1,4/EJ_x.

2. φ(z₂)=φ(0) + M_x(0)z₂/EJ_x + Q_y(0)z₂²/2EJ_x=0, → z₂=0.82 м

V(z)=V(0) – φ(0)z₂ – M_x(0)z₂²/2EJ_x – Q_y(0)z₂³/6EJ_x=1,1/EJ_x.

По условию прочности: опасное сечение z= l. σ_max≤ [σ], где σ_max= . Таким образом, W_x= = =0,0000255 м³ → 26 см³.

Из таблиц сортамента выберем двутавр № 10 (W_x= 39,7 см³).

По условию жёсткости: опасное сечение z=z₂. V_max≤[V]. С эпюры линейных перемещений 1,1·10³/(EJ_x)=[V], откуда

J_x= 0,00000275 м³ → 275 см⁴ .

Из таблиц сортамента выберем двутавр № 12 (J_x= 350 см³).

Окончательно выбираем сечение, удовлетворяющее условиям прочности и жёсткости: двутавр № 12.

ЗАДАЧА 2.4 Криволинейный стержень.

Дано:

	Р, кН	α	R = l, м

Требуется:

1. Записать уравнение продольной силы N(z), поперечной силы Q_y(z), изгибающего момента M_x(z), и граничные условия задачи. Рассчитать значения Q_y, M_х, N по участкам.

2. Выполнить чертёж схемы и эпюры в масштабе.

3. Подобрать круглое поперечное сечение стержня из расчета на прочность по изгибающему моменту, приняв допускаемое напряжение [σ]=160 МПа.

Решение:

Уравнение изгибающего момента:

M_x(φ)= M_x(0) + Q_y(0)Rsinφ + N(0)R(1 – cosφ)│_I – PR(1 – cos(φ – α))│_II

Уравнение поперечных сил:

Q_y(φ)=M'_x/R = Q_y(0)cosφ + N(0)sinφ│_I – Psin(φ – α)│_II

Уравнение продольных сил:

N(φ)=Q′_y= – Q_y(0)sinφ + N(0)cosφ│_I – Pcos(φ – α)│_II

Г.У.: M_x(0)=0, Q_y(0)= P, N(0)=0

Построение графиков осуществляется по участкам:

I уч. 0 ≤ φ ≤ α

N(0)=0, N(α)=-19.8 кН.

Q_y(0)=28 кН, Q_y(α)=19.8 кН.

M_x(0)=0, M_x(α)=27.7 кН·м.

II уч. α ≤ φ ≤ π/2

N(α)=-47.8, N(α/2)=-47.8 кН.

Q_y(α)=19.8 кН, Q_y(α/2)=-19.8 кН.

M_x(α)=33.2 кН·м,M_x(α/2)=27.7 кН·м.

Исследование на экстремум:

Q_y(φ₁)= Q_y(0)cosφ₁ – Psin(φ₁ – α)=0, → φ₁=67.5°

M_x(φ₁)= M_x(0) + Q_y(0)Rsinφ₁ – PR(1 – cos(φ₁ – α))=33.2 кН·м.

Расчёт на прочность произведём по максимальному изгибающему моменту: σ_max=М _{х max}/W_x ≤ [σ], где W_x – момент сопротивления сечения изгибу. Для круглого стержня W_x=0,1d³. Таким образом,

d= = =0,1333 м

Из нормального ряда размеров выбираем значение d=134 мм

ЗАДАЧА 2.5 Рама.

Дано:

	Р, кН	q, кН/м	длина стержней, м

Требуется:

1. Определить степень статической неопределимости рамы.

2. Определить значение реакции методом сил.

3. Записать уравнение поперечной силы Q_y(z), изгибающего момента M_x(z), и граничные условия. Рассчитать значения Q_y, M_х на каждом стержне рамы.

4. Выполнить чертёж схемы и эпюр в масштабе.

5. Подобрать квадратное поперечное сечения стержня из расчета на прочность по изгибающему моменту, приняв допускаемое напряжение [σ]=160 МПа.

Решение:

Данная система является статически неопределимой, поэтому сначала определим количество «лишних» связей: n=m – 3=4 – 3=1. Решать будем методом сил.

Система, нагруженная реальной силой:

1 стержень: Q_y1(z)= Q_y1(0)

M_x1(z)= M_x1(0) + Q_y1(0)z

2 стержень: Q_y2(z)= Q_y2(0) – qz

M_x2(z)= M_x2(0) + Q_y2(0)z – qz²/2

Г.У.: Q_y1(0)=0; M_x1(0)=0; М_х1(l)=М_х2(0), Q_y2(0)= – P → M_x2(0)=0 кН·м.

Система, нагруженная единичной силой:

1 стержень: Q⁰_y1(z)= Q⁰_y1(0)

M⁰_x1(z)= M⁰_x1(0) + Q⁰_y1(0)z

2 стержень: Q⁰_y2(z)= Q⁰_y2(0)

M⁰_x2(z)= M⁰_x2(0) + Q⁰_y2(0)z

Г.У.: Q⁰_y1(0)= – 1; M⁰_x1(0)=0; М⁰_х1(l)=М⁰_х2(0), Q_y2(0)=0 →

M⁰_x1(z)= –z, M⁰_x2(0)= – l

Запишем каноническое уравнение метода сил: Δ_1Р + δ₁₁·Х₁=0. Перемещения определим по интегралу Мора.

Δ_1Р= = + = ;

δ₁₁= = + = + = Из канонического уравнения определим: Х₁= 8,7 кН.

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого стержня:

1 стержень: Q_y1(z)= Q_y1(0)

M_x1(z)= M_x1(0) + Q_y1(0)z

2 стержень: Q_y2(z)= Q_y2(0) – qz

M_x2(z)= M_x2(0) + Q_y2(0)z – qz²/2

Г.У. M_x1(0)=0

Q_y2(0)= – Р M_x2(0)=8,7 кН·м

M_x1(l)= M_x2(0)

Построение эпюр осуществляется для каждого стержня в отдельности:

1 ст. 0 ≤ z ≤ l,

Q_y1(0)=8,7 кН, Q_y1(l)=8,7 кН.

M_x1(0)=0, M_x1(l)=8,7 кН·м.

2 ст. 0 ≤ z ≤ l,

Q_y2(0)=-20 кН, Q_y2(l)=-12 кН.

M_x2(0)=8,7 кН·м, M_x2(l)=-15,3 кН·м.

Расчёт на прочность: σ_max=М _{х max}/W_x ≤ [σ], где W_x=а³/6 – осевой момент сопротивления.

Таким образом, а= = 0,083 м=83 мм.

Из нормального ряда размеров выбираем значение а=84 мм

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Таблица исходных данных

Табл. 5

№ вар.	l, м	Р, кН	q, кН/м	L, кН·м	m, кН·м/м	L1, кН·м	r, мм	α,° (II сем.)	Сечение к задаче №3 (II сем.)
	0,5
						-6
	0,5
						-2
	0,5
						-3
	0,5
						-4
	0,5
						-5
	0,5
						-6
	0,5
						-8
	0,5
						-2
	0,5
						-3
	0,5
						-4
	0,5
						-5
	0,5
						-6
	0,5
						-8
	0,5
						-2
	0,5
						-3

Варианты заданий I семестра

Задача № 1.1

Табл. 6

Задача № 1.2

Табл.7

Задача № 1.3

Табл.8

Задача № 1.4

Табл.9

Поперечное сечение (к задаче №1.3)

Табл.10

		4r

Варианты заданий II семестра

Задача № 2.1

Для получения схемы нагружения в задаче №1.1(табл.1) со стороны свободного конца добавить жёсткую заделку. В случае если на свободный конец действует сосредоточенная нагрузка, её следует убрать.

Задача № 2.2

Для получения схемы нагружения в задаче №1.2(табл.2) со стороны свободного конца добавить жёсткую заделку. В случае если на свободный конец действует сосредоточенная нагрузка, её следует убрать.

Задача № 2.3

Для получения схемы нагружения в задаче №1.3(табл.3) со стороны свободного конца добавить жёсткую заделку. В случае если на свободный конец действует сосредоточенная нагрузка, её следует убрать.

Задача № 2.4

Табл.11

1	2
4	5
7
10	11
13	14	15
16	17
19	20
22		24
25		27

Задача № 2.5

Табл. 12

1	2
		12
		18
	23
25		27
	29	30