Парі сил, момент якої рівний головному моменту

Графічно головний вектор є замикаючою стороною силового багатокутника, побудованого на заданих силах.

Аналітично головний вектор можна визначити методом проекцій:

модуль: F_гол =

напрям: cos α = cos ( F _гол^, х) =

Модуль і напрям головного векторане залежить від вибору центра приведення.

Значення головного моментузалежить від вибору центра приведення (крім випадку коли F_гол = 0), так як із зміною центра приведення змінюються плечі заданих сил.

3. Рівнодійна ПСДРС

Доведемо, що в загальному випадку ПСДРС можна

привести до однієї рівнодійної сили, тобто знайти таку

точку, відносно якої головний момент системи рівний

нулю (М_гол = 0).

Хай, привівши задану ПСДРС до довільного центра –

т.О, одержано головний вектор F _гол і пара сил з моментом

М_гол.

Зобразимо М_гол парою сил (F^/, F), які паралельні силі

F _гол і рівні їй за модулем:

(F ║ F ^/║ F _гол ), (F = F^/ = F_гол); М (F ^/, F) = M_гол.

Одну з сил пари F ^/ прикладемо в т.О протилежно до F _гол,

Тоді друга сила F буде напрямлена в той же бік що й F _гол,

а точку прикладання сили F знайдемо з співвідношення

М_гол = F ∙ d; звідси плече сили F

, де F = F_гол.

Систему сил (F ^/, F _гол) відкинемо як зрівноважену.

-34-

Залишиться тільки одна сила F еквівалентна F _гол і М _гол, тобто рівнодійна заданій ПСДРС. Позначимо F = F _Σ.

Отже, в загальному випадку F _гол і F _Σ рівні за модулем і однакові за напрямом F _Σ = F _гол, але не є еквівалентними.

Модуль рівнодійної F_Σ = F_гол = , а положення її лінії дії

визначається плечем

4. Теорема Варіньйона та її застосування

При визначенні положення лінії дії рівнодійної F _Σ ПСДРС було одержано, що М_гол = М (F, F ^/) = M_O (F). Так як F = F _Σ рівнодійна, то М_гол = М_О (F _Σ). Але

М_гол = Σ М_О (F _i).

Так як за центр приведення можна взяти будь-яку точку площини дії даної системи, то в загальному випадку одержимо

М_гол = Σ М_О (F _i) і – момент рівнодійної ПСДРС

відносно будь-якої точки, взятоїв площині дії сил, рівний алгебраїчній сумі моментів сил системи відносно тієї ж точки.

З допомогою теореми Варіньйона розв’язуються багато задач механіки.

а) Визначення рівнодійної плоскої системи паралельних сил

Дано: F ₁ ║ F ₂ ║ F ₃ ║…║ F _n.

Рівнодійна сил

F _Σ = F ₁ + F ₂ + F ₃ +…+ F _n = Σ F _i;

Тоді рівнодійна

F_Σ = F_y = Σ F_iy = Σ F_i;

якщо Σ F_iy > 0, то F _Σ напрямлена в бік

додатного напряму осі у;

якщо Σ F_iy < 0, то F _Σ напрямлена

протилежно до осі у.

Згідно теореми Варіньйона

M_O (F _Σ) = M_O (F ₁) + M_O (F ₂) + M_O (F ₃) +…+ M_O (F _n) = Σ M_O (F i);

але M_O (F _Σ) = F∙x; отже х =

Якщо х вийде із знаком «–», то це означає, що лінію дії рівнодійної F _Σ треба відкладати протилежно до додатного напряму осі х, тобто вліво від т.О.

-35-

б) Визначення моменту сили відносно початку координат

Розкладемо вектор сили F на складові паралельні

осям координат: F = F _x + F _y;

по модулю | F _x| = F_x; | F _y| = F_y.

За теоремою Варіньйона

M_O (F) = Σ M_O (F _i) = M_O (F _x) + M_O (F _y) =

= – F_x y + F_y x = – F cos α ∙ y + F sin α ∙ x =

= F (x sin α – y cos α).

в) Визначення моменту сили відносно опори стержня

Нехай на стержень діє сила F під

кутом α до стержня.

Розкладемо силу F на дві складові F _x,

напрямлену вздовж стержня, та F _y,

перпендикулярно до стержня.

За теоремою Варіньйона:

M_O (F) = M_O (F _x) + M_O (F _y).

Але M_O (F _x) = 0 – лінія дії F _x прохо-

дить через т.О. Тоді M_O (F) = M_O (F _у) = F sin α ∙ ℓ.

5. Часткові випадки приведення ПСДРС

Загальний випадок F _гол ≠ 0, М_гол ≠ 0 – система приведена до головного вектора і головного моменту.

Система може бути приведена до однієї рівнодійної, яка дорівнює головному вектору (F _Σ = F _гол), лінія дії рівнодійної знаходиться відносно заданого центра приведення на відстані

Часткові випадки:

1) F _гол ≠ 0; М_гол = 0 – система приведена до рівнодійної, лінія дії якої проходить через центр приведення, і рівнодійна співпадає з головним вектором системи.

2) F _гол = 0; М_гол ≠ 0 – система приведена до пари сил, момент якої рівний головному моменту. Рівнодійна системи сил рівна нулю (F _Σ = F _гол = 0).

-36-

Оскільки одна і та ж система сил не може бути еквівалентною різним парам з різними моментами, а тільки одній, то величина і знак (напрям) М_гол не залежить від вибору центра приведення.

3) F _гол = 0; М_гол = 0 – система сил знаходиться в рівновазі.

Домашнє завдання

Задача Визначити величину і положення лінії дії рівнодійної двох паралельних

сил, напрямлених в одну сторону, якщо відстань між ними ℓ = 3 м, модулі сил

F₁ = 10 Н, F₂ = 20 Н. Порівняти відношення відстаней від сил до рівнодійної і

відношення модулів сил. Застосувати теорему Варіньйона. Для полегшення

розрахунків точку відліку сумістити з лінією дії однієї з сил.

6. Умови та рівняння рівноваги ПСДРС

Умовами рівноваги плоскої системи сил є F _гол = 0; М_гол = 0; але F _гол = Σ F _i, a

M_гол = Σ М_О (F _i),

отже – необхідні умови рівноваги ПСДРС.

Але, якщо Σ F _i = 0, то і Σ F_ix = 0 і Σ F_iу = 0. Звідси

;; – І-а форма рівнянь рівноваги.

Для рівноваги ПСДРС необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил системи на кожну з координатних осей дорівнювала нулю і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно будь-якої точки площини дорівнювала нулю.

Так як рівнянь рівноваги три, то для розв’язку задачі необхідно, щоб кількість невідомих було не більше 3-х.

Якщо скласти два рівняння моментів і додати до них одне рівняння проекцій на будь-яку вісь, не перпендикулярну до прямої, що проходить через вибрані центри моментів, то одержимо ІІ-у форму рівнянь рівноваги:

;;

або;;;; – ІІ-а

форма рівнянь рівноваги.

Для рівноваги ПСДРС необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні

с уми моментів сил відносно будь-яких точок, а також

алгебраїчна сума проекцій сил на вісь, не перпендикулярну

прямій, що проходить через ці точки дорівнювала нулю.

-37-

Третій вид рівнянь рівноваги одержимо, якщо замість рівняння проекцій до 2-х рівнянь суми моментів відносно двох довільних точок А і В додати 3-є рівняння моментів сил відносно будь-якої іншої точки, що не лежить на прямій, яка сполучає точки А і В:

;; – Ш-я форма рівнянь

рівноваги.

Для рівноваги ПСДРС необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів сил відносно будь-яких 3-х точок площини, що не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю.

7. Рівняння рівноваги плоскої системи паралельних сил (ПСПС)

Умови рівноваги ПСПС є частковим випадком умов рівноваги, виведених раніше для ПСДРС.

Якщо розташувати осі координат так, щоб х ┴ F _i, а вісь y║ F _i, то рівняння Σ F_ix ≡ 0 – перетвориться в тотожність і одержимо Σ F_iy = Σ F_i = 0; отже

; – І-а форма рівнянь рівноваги ПСПС.

Для рівноваги ПСПС необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума всіх сил дорівнювала нулю, і щоб алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно будь-якої точки площини також дорівнювала нулю.

Другий вид рівнянь одержимо, якщо складемо рівняння моментів відносно 2-х точок А і В, що лежать на прямій не паралельній лініям дії сил:

; – ІІ-а форма рівнянь рівноваги ПСПС.

Для рівноваги ПСПС необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно 2-х будь-яких точок площини,що лежать на прямій не паралельній лініям дії сил дорівнювала нулю.

8. Порядок розв’язування задач на рівновагу плоскої системи сил