Пара сил

1. Рівнодійна двох паралельних сил, напрямлених в одну сторону

В точках А і В прикладені паралельні сили F ₁ і F ₂. Необхідно знайти їх рівнодійну.

В точках А і В прикладемо зрівноважену систему сил F і F ^/ яка згідно з аксіомою 3 не змінить стану тіла.

За правилом паралелограма визначимо рівнодійні сил:

F _Σ1 = F ₁ + F; F _Σ2 = F ₂ + F ^/.

Перенесемо сили F _Σ1 і F _Σ2 в точку перетину їх ліній дії – т.О.

Силу F _Σ1 в т.О розкладемо таким чином, щоб одна з складових була рівна силі F, і їй параллельною. Тоді друга складова буде рівна F ₁ і буде їй паралельна.

Силу F _Σ2 теж розкладемо на дві складові F ^/ і F ₂ у точці О.

Оскільки сили F і F ^/ взаємно зрівноважені, то за аксіомою 3 їх можна відкинути. Залишаться сили F ₁ і F ₂ напрямлені по одній прямій в одну сторону.

Рівнодійна таких сил рівна їх сумі F _Σ = F ₁ + F ₂ і напрямлена в цю ж

сторону..

Перенесемо рівнодійну в т. С, яка утворена перетином лінії дії рівнодійної і відрізком, що сполучає точки прикладання заданих сил – т. А і т. В.

В подібних трикутниках Δ AOC і Δ DOK сторони відповідно пропорційні:

звідси ; (a)

аналогічно з подібності Δ ВОС і Δ ЕОL

; звідси . (б)

У виразах (а) і (б) праві частини рівні, бо DK = EL.

Отже, рівні і ліві частини: AC∙OK = BC∙OL.

З рис. видно, що ОК =F₁ a OL=F₂.

Тоді AC∙F₁ = BC∙F₂ ; звідси одержуємо пропорцію:

-25-

; отже лінія дії рівнодійної ділить відрізок, що сполучає точки прикладання заданих сил, на частини обернено пропорційні цим силам.

Відомо, що в пропорції кожний попередній член так відноситься до свого наступного, як сума попередніх до суми наступних. На основі цього одержимо

Так як АС + ВС = АВ і F₁ + F₂ = F_Σ, то

З останньої пропорції можна знайти відрізки АС і ВС.

Отже, рівнодійна двох паралельних сил, напрямлених в одну сторону, напрямлена в цю ж сторону і рівна їх сумі.

Лінія дії рівнодійної поділяє відрізок, що сполучає точки прикладання сил, на частини, обернено пропорційні цим силам.

2. Рівнодійна двох сил паралельних сил напрямлених в різні сторони

В точках А і В прикладені дві антипаралельні

сили. Нехай F₁ > F₂. Необхідно знайти їх

рівнодійну.

Більшу силу F ₁ розкладаємо на дві парале-

льні складові F ₂^/ і F _Σ, так, щоб складова F ₂^/

була прикладена в т. В і F₂^/ = F₂. Силу F ₁

можна вважати рівнодійною сил F ₂^/ і F _Σ,

прикладеною в деякій т. С:

F₁ = F₂^/ + F_Σ;

З цих рівностей знайдемо модуль другої складової F_Σ і відстань АС до точки її прикладання (відомо, що F₂^/ = F₂). Дану систему сил (F ₁, F ₂) замінено системою трьох сил:

(F ₁, F ₂) ≡ (F _Σ, F ₂, F ₂^/ ).

Відкинувши на підставі аксіоми 3 взаємно зрівноважені сили F ₂ і F ₂^/, знайдемо, що дана система еквівалентна одній силі, тобто рівнодіючій F _Σ:

(F ₁, F ₂) ≡ F _Σ.

Модуль і точка прикладання рівнодіючої визначаються за формулами:

F_Σ = F₁ – F₂^/ = F₁ – F₂;

Рівнодіюча двох паралельних сил, напрямлених в різні сторони, напрямлена в бік більшої сили, паралельна цим силам і дорівнює їх різниці.

Лінія дії рівнодійної поділяє продовження прямої, яка з’єднує точки прикладання сил, з боку більшої сили на відрізки, обернено пропорційні силам.

-26-

За результатами визначення рівнодійної двох паралельних сил напрямлених в одну і в протилежну сторони можна зробити висновок, що рівнодійна двох паралельних сил рівна їх алгебраїчній сумі.

Очевидно, що рівнодіюча будь-якої системи паралельних сил теж рівна їх алгебраїчній сумі:

F_Σ = F₁ + F₂ +…+ F_n або F_Σ = Σ F_i.

Визначення положення лінії рівнодійної будь-якої кількості паралельних сил розглядатиметься в наступній темі.

3. Пара сил і момент пари

Система 2-х рівних за модулем (значенням) і протилежно напрямлених сил, які не лежать на одній прямій, називається парою сил, або просто парою.

Площина, в якій розташована пара називається площиною дії пари.

Найкоротша відстань між лініями дії сил

(взята по перпендикуляру до напряму сил)

називається плечем пари.

Пара створює обертову дію на тіло.

Кількісною мірою обертової дії пари є

момент пари. Моментом пари сил нази-

вають добуток одної з сил пари на пле-

че пари:

М (F, F ^/ ) = M = ±F∙h.

Одиниця моменту: [M] = [F]∙[h] = 1 Нм;

кратні одиниці: 1 кНм = 10³ Нм; 1 МНм = 10⁶ Нм.

Правило знаків: момент пари вважається додатнім, якщо пара сил повертає тіло, до якого вона прикладена проти стрілки годинника, і, навпаки, від’ємною, якщо вона повертає тіло за стрілкою годинника.

Це правило є умовним. Можна було б прийняти протилежні знаки для моменту. Але при розв’язку задач, для того щоб уникнути плутанини, необхідно дотримуватись одного і того ж правила.

Обертова дія моменту пари сил залежить не тільки від числового значення її моменту, але й від положення площини дії пари. Тому момент пари в ряді випадків розглядають як векторну величину.

Вектор моменту пари сил представляють як вектор, величина якого рівна добутку одної з сил пари на її плече, і напрямлений перпендикулярно до площини дії пари

-27-

так, щоб при погляді з кінця вектора, пара повертала площину своєї дії проти стрілки годинника.

Правило визначення напряму вектора моменту збігається з правилом правого гвинта.

4. Основні властивості пари

Властивість 1 Пара сил не має рівнодійної сили, тобто пару не можна

замінити однією силою, їй еквівалентною.

Оскільки пара є системою двох паралельних

сил, напрямлених в різні сторони, то для неї

можна застосувати такі ж рівняння:

величина рівнодійної: F_Σ = F^/ - F;

але по модулю F^/ = F, тому F_Σ = F – F = 0;

і точка її прикладання визначиться з співвідношення

.

Таким чином, для пари сил рівнодійної не існує, а точка її прикладання знаходиться в безмежності. Це вказує на те, що пару сил не можна замінити однією силою, їй еквівалентною, тобто пара сил не має рівнодійної. Отже, пару сил неможна зрівноважити одною силою. Пару сил можна зрівноважити тільки парою.

Властивість 2. Алгебраїчна сума проекцій сил на вісь завжди рівна нулю.

Дано пару (F, F ^/) і вісь х, яка лежить в

площині дії пари. Знайдемо суму проекцій

пари на вісь х:

Σ F_ix = F cos α - F^/ cos α;

Але F^/ = F, тому Σ F_ix = F cos α - F cos α = 0.

З одержаного виразу випливає, що

пара сил не входить ні в рівняння сил, ані

в рівняння проекцій сил.

-28-

5. Еквівалентність пар. Перенос пари в площині її дії

Дві пари називають еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи механічного стану твердого тіла.

Теорема. Дві пари еквівалентні, тобто чинять однакову обертову дію на тіло,