Гнучка в’язь

Прикладами є: нитка, шнур,

трос, ланцюг, які вважаються

нерозтяжними і невагомими.

Гнучкі в’язі перешкоджають

переміщенню тільки в натягну-

тому стані. Реакції гнучких

в’язей напрямлені вздовж самих

в’язей від тіла до точки підвісу.

Шарнірна в’язь

Циліндричний шарнір (під -

шипник, шарнірно нерухома

опора). Це з’єднання двох тіл

за допомогою болта, пальця,

який проходить через отвори

в цих тілах. Таке з’єднання дає

можливість тілу вільно поверта-

тись навколо шарніра, але не

дає можливість поступально пе-

реміщатись тілу в будь-якому

напрямку, перпендикулярному до осі шарніра. Тому реакція лежить в площині,

перпендикулярній до осі шарніра, але напрям її невідомий. При визначенні її часто представляють двома взаємно перпендикулярними складовими (як показано

на рис.).

Підп’ятник - поєднання циліндричного шарніра з

опорною площиною. Така в’язь дозволяє обертатись

валу навколо його осі і переміщатись вздовж неї, але

тільки в одному напрямі. Реакція підп’ятника склада-

ється з реакції циліндричного підшипника, яка лежить

в площині, перпендикулярній до йог о осі (в загально-

му випадку вона може бути представлена двома скла-

довими R _AX та R _AY) і реакції площини, перпендику-

лярної до неї – R _AZ.

Кульовий (сферичний) шарнір - стержень на сво –

єму кінці має кульову поверхню, яка закріплена в

опорі, що являє собою частину сферичної порож –

нини. Реакція проходить через центр шарніра, нап –

рям її невідомий. Тіло (стержень) закріплене в ку –

льовому шарнірі може повертатись в будь-якому

напрямку, але не може поступально переміщатись.

Тому реакція може бути представлена трьома скла –

довими - в трьох взаємно перпендикулярних напря –

мках – R _AX, R _AY, R _AZ.

-11-

Стержнева в’язь - це абсолютно жорсткий

(що не деформується) умовно невагомий

стержень з шарнірними кріпленнями на кін -.

цях. Реакції стержневих в’язей напрямлені

вздовж прямої, що проходить через осі кін –

цевих шарнірів. Якщо стержні прямолінійні,

то реакції напрямлені вздовж стержнів.

Якщо стержень розтягнутий, то реакція

напрямлена до стержня, якщо стиснутий – то

від стержня.

Домашнє завдання

Зобразити напрями реакцій вільного

обпирання бруса в точках А і В та реак -

ції гнучкої в’язі СВ в т. С.

Зобразити напрями рекцій в шарнірі А та

стержня ВС.

- 12 –

Система збіжних сил (ПСЗС)

ПСЗС називається система в якій сили розта-

шовані в одній площині, а їх лінії лінії дії

перетинаються в одній точці.

т. О – точка перетину ліній дії збіжних сил.

1. Рівнодійна двох сил, прикладених в одній точці

Дві сили прикладені в одній точці утворюють найпростішу ПСЗС. Визначення

їх рівнодійної (додавання сил) проводиться за IV-ю аксіомою (за правилом паралелограма). Задачу додавання 2-х збіжних сил можна розв’язати графічно або аналітично.

Графічний метод. Призначають масштаб сил m_F, визначають довжини відрізків що відповідають модулям заданих сил F ₁ і F ₂, будують вектори сил у прийнятому масштабі під кутом j, який відкладають по транспортиру. Будують паралелограм на цих силах як на сторонах і проводять діагональ. Вимірявши довжину діагоналі і помноживши її на масштаб m_F, знаходять модуль рівнодійної F _å. Транспортиром вимірюють кут між діагоналлю F і однією з сил (наприклад) F ₁, який визначає положення сили F _å відносно заданої сили.

Геометричний (розрахунковий) метод. На векторах F ₁ і F ₂ без дотримання

строгого масштабу будують пара-

лелограм ABCD з діагоналлю AD,

що зображає шукану рівнодійну F _å.

За теоремою косинусів з D ADC

одержимо:

,

де Ð ACD = p - j і cos (p -j) = - cos j;

отже - модуль рівнодійної.

За теоремою синусів: де sin (ÐACD) = sin (p - j) = sin j;

звідки .

- 13 -

Часткові випадки додавання 2-х сил

1) j = 0; cos j = 1; ;

сили F ₁ і F ₂ прикладені в одній точці і напрямлені в одну сторону.

Рівнодійна напрямлена в ту ж сторону, її модуль рівний сумі модулів заданих сил.

2) j = 180⁰ (j = p); cos j = -1; ;

сили F ₁ і F ₂ прикладені в одній точці і напрямлені в протилежні сторони.

Рівнодійна напрямлена в сторону більшої сили, її модуль рівний різниці модулів заданих сил.

3) j = 90⁰ (j =p/2); cos j = 0; ;

Сили F ₁ і F ₂ прикладені в одній точці і напрямлені під прямим кутом.

Рівнодійна є діагоналлю прямокутника, сторонами якого є задані сили.

2. Розкладання сили на дві складові

Розкласти силу на дві складові означає знайти систему 2-х сил еквівалентну заданій силі. Оскільки на діагоналі можна побудувати безліч паралелограмів, то задача розкладання сили на дві складові має безліч розв’язків.

Для того щоб задача мала визначений розв’язок необхідно задати додаткові умови:

1. Задано напрямки складових;

2. Задано величини (модулі) складових;

3. Задано модуль і напрям однієї із складових;

4. Задано модуль однієї складової та напрям другої.

Розглянемо випадок розкладання сили на складові за заданими напрямками

- 14 -

З початку вектора F – т. А проводимо

напрямискладових під заданими кутами

a і b, а т. В – кінця вектора F, прямі,

паралельні напрямкам сил, які на цих

напрямках відсікають відрізки, рівні

за величиною шуканим силам.

3. Визначення рівнодійної ПСЗС. Силовий багатокутник

.

Розглянемо систему сил F _1, F ₂, F₃, F ₄. Необхідно знайти їх рівнодійну.

На основі наслідку 1 з аксіом 2 і 3, перенесемо всі сили в точку перетину ліній їх дії – т.О. Для визначення їх рівнодійної додамо послідовно всі сили за правилом трикутника:

F _1-2 = F ₁ + F ₂; F _1-3 = F _1-2 + F ₃ = F ₁ + F ₂ + F ₃;

F _Σ = F _1-4 = F _1-3 + F ₄ = F ₁ + F ₂ + F ₃ + F ₄.

Проміжні вектори F _1-2 і F _1-3 можна не знаходити, а послідовно додати сили

F _1, F ₂, F ₃, F₄ і початок першої сили F ₁ сполучити з кінцем останньої F ₄:

F _Σ = F ₁ + F ₂ + F ₃ + F ₄.

Одержаний багатокутник ABCDE називають силовим багатокутником. Замикаюча сторона багатокутника являє собою геометричну суму заданих сил, або їх рівнодійну.

Аналогічно можна додати будь-яку кількість збіжних сил (знайти їх рівнодійну):

F _Σ = F ₁ + F ₂ +…+ F _n = Σ F _i (i = 1, 2…n).

Отже,

-15-

4. Геометрична умова рівноваги ПСЗС.

Якщо, при побудові силового багатокутника, кінець останньої подаваної сили співпаде з початком першої, то рівнодійна F _Σ виразиться точкою, тобто виявиться рівною нулю (F _Σ = 0). Це і є умовою рівноваги ПСЗС.

Для рівноваги ПСЗС необхідно і достатньо, щоб їх рівнодійна дорівнювала нулю, тобто силовий багатокутник був замкнутий:

- геометрична умова рівноваги ПСЗС.

Задача

Визначити реакції в’язей кулі, що

втримується ниткою АВ на похилій

площині з кутом підйому α = 45⁰.

Нитка утворює з похилою площиною

кут β = 30⁰. Вага кулі 60 Н.

Розв’язок

На кулю діють сили: сила тяжіння G, реакція

нитки R _A, реакція похилої площини R _K. Під

дією цих трьох сил куля перебуває в рівно-

вазі. Три сили зрівноважуються тільки тоді,

коли їх лінії дії перетинаються в одній

точці (наслідок 2 з аксіом). Оскільки сила

тяжіння G прикладена в т.О, то лінії дії

реакцій R _A і R _К теж повинні проходити

через т.О. Умова рівноваги для заданих сил

матиме вид:

G + R _K + R _A = 0.

За цим рівнянням будуємо силовий багатокутник, в даному випадку трикутник. З довільної точки відкладаємо вертикально вниз відому силу G, з кінця вектора сили G під кутом α = 45⁰ до вертикального напрямку відкладаємо напрям дії реакції похилої площини R _K (R _K пл. КВ). Оскільки силовий багатокутник має бути замкнутий (кінець реакції R _A повинен співпасти з початком сили G), то під кутом до напряму сили G 90⁰ – α + β = 90⁰ – 45⁰ + 30⁰ = 75⁰ проводимо напрям реакції R _A. Точка перетину цього напряму з попередньо проведеним напрямом реакції R _K відсікає відрізки, які відповідають величинам відповідних реакцій R_A і R_K.

-16-

Якщо задача розв’язується графічним способом, то відомі за величиною сили відкладають в масштабі, напрями сил проводять вимірюючи кути транспортиром. Тоді сили визначають вимірюючи відповідні їм відрізки і враховуючи масштаб побудови.

Якщо ж задача розв’язується розрахунковим способом, то багатокутник будують без строгого дотримання масштабу, а невідомі сили визначають на основі геометричних співвідношень в многокутнику.

Розв’язуємо задачу розрахунковим способом.

За теоремою синусів

звідси

Обчислюємо Н.

Іншу реакцію теж зручно знайти за теоремою синусів

звідси

Н.

За V-ю аксіомою сила натягу нитки рівна реакції нитки Т = R_A = 49Н,

сила тиску кулі на площину рівна реакції площини N = R_K = 67 Н.

Домашнє завдання

2.6 (М) Стержні АС і ВС з’єднані між собою і з

вертикальною стіною за допомогою

шарнірів. На шарнірний болт С діє

вертикальна сила Р = 1000 Н.

Визначити реакції цих стержнів на

шарнірний болт С, якщо кути, які

утворюють стержні із стіною α = 30⁰,

β = 60⁰.

(Вказівка: за об’єкт рівноваги розглядати

шарнір С).

2.19 (М) До вертикальної гладкої стіни АВ підвішена

тросі АС однорідна куля О. Трос утворює із

стіною кут α = 30⁰, вага кулі Р = 100 Н.

Визначити силу натягу троса Т і силу

тиску кулі на стіну Q.

-17-

5. Проекції сили на осі координат

Замість побудови силового многокутника, у випадку коли на тіло діє система більше ніж 3-х збіжних сил, їх рівнодійну знаходять аналітичним методом (методом проекцій).

Проекцією сили F на вісь називають відрізок осі, що лежить між двома перпендикулярами, опущеними на вісь з початку і кінця вектора сили F.

Спроектуємо силу F на осі координат.

Напрям сили з віссю х утворює кут α.

А_хВ_х = F_x – проекція сили F на вісь х;

А_уВ_у = F_y – проекція сили на вісь у.

Знаходимо проекції:

F_x = A_xB_x = AC = AB cos α = F cos α;

F_y = A_yB_y = CB = AB sin α = F sin α.

Проекція сили на вісь рівна добутку модуля

– сили на косинус кута між напрямом сили і

додатнім напрямом осі.

Проекція сили на вісь є скалярною (алгебраїчною) величиною. Проекція сили додатна, якщо напрям від початку проекції до її кінця співпадає з додатнім напрямом осі. Проекція сили від’ємна, якщо напрям від початку проекції до її кінця протилежний додатному напряму осі.

Розглянемо деякі випадки проектування сили на вісь.

F_x = F cos α F_x = F cos α = F cos(180⁰-β)= F_x = F cos 90⁰ = 0

= -F cos β

Отже, якщо напрям вектора сили утворює гострий кут з додатнім напрямом осі, то проекція сили на вісь додатна, а якщо тупий – то від’ємна; якщо вектор сили перпендикулярний до осі, то проекція сили на вісь рівна нулю.

Знаючи проекції F_x і F_y вектора F, можна визначити його модуль (величину) і встановити напрям:

-18-

або ; або – напрям;

де α – кут між напрямом сили F і віссю х.

Силу F можна представити як рівнодійну 2-х складових сил F _x і F _y паралельних осям координат.

Складові F _x і F _y та проекції F_x і F_y принципово відрізняються, так як складові сили є векторними величинами, а проекції – скалярними, хоча проекції сили на осі координат і складові чисельно рівні.

6. Аналітичний метод визначення рівнодійної ПСЗС

Дано систему сил F ₁, F ₂, F ₃, F ₄. Знаходимо їх рівнодійну будуючи силовий многокутник:

F _Σ = F ₁ + F ₂ + F ₃ + F ₄ – рівнодійна системи сил.

Будуємо систему координат хОу і знаходимо проекції сил на осі.

На вісь х: F_1x = A_xB_x; F_2x = B_xC_x; F_3x = C_xD_x; F_4x = – D_xE_x.

На вісь у: F_1y = A_yB_y; F_2y = – B_yC_y; F_3y = – C_yD_y; F_4y = –D_yE_y.

Сума проекцій сил на вісь х:

-19-

Σ F_ix = F_1x + F_2x + F_3x + F_4x = A_xB_x + B_xC_x + C_xD_x – D_xE_x = A_xE_x;

але A_xE_x = F_Σx, отже F_Σx = Σ F_ix.

Аналогічно сума проекцій сил на вісь у:

Σ F_iy = F_1y + F_2y + F_3y + F_4y = A_yB_y – B_yC_y – C_yD_y – D_yE_y = – A_yE_y;

але – A_yE_y = F_Σy, отже F_Σy = Σ F_iy.

;; або;;.

Проекція рівнодійної ПСЗС на вісь рівна алгебраїчній сумі проекцій складових на цю ж вісь.

Знаючи F_Σx і F_Σy за теоремою Піфагора знаходимо модуль рівнодійної

.

Напрям рівнодійної (кут її з віссю х) визначимо із співвідношення:

;

або ; або.

7. Аналітичні умови (рівняння) рівноваги ПСЗС

Як було встановлено раніше, якщо система ПСЗС знаходиться в рівновазі, то її рівнодійна рівна нулю: F _Σ = 0 (F_Σ = 0). Але F_Σ = 0 коли F_Σx = 0 і F_Σy = 0. Так як F_Σx = Σ F_ix і F_Σy = Σ F_iy, то

–

Отже статика дає два рівняння рівноваги ПСЗС. Ці рівняння дають можливість визначити два невідомих елементи заданої системи сил, наприклад, модуль і напрям одної сили, або модулі двох сил, напрями яких відомі і т. п.

Якщо задача містить більше 2-х невідомих сил, то задачу не можна розв’язати методами статики. Такі задачі називаються статично-невизначеними. Методи їх розв’язку розглядаються в курсі опору матеріалів.

-20-

8. Методика розв’язування задач на рівновагу ПСЗС

Для розв’язку задач на рівновагу тіла використовують такі методи:

аналітичний, оснований на застосуванні рівнянь рівноваги,

графічний і графоаналітичний (геометричний), основані на застосуванні геометричної умови рівноваги.

Використання геометричної умови рівноваги дає найпростіший розв’язок для системи 3-х збіжних сил. При наявності в системі 4-х і більше сил раціонально використовувати аналітичний метод, який є найбільш універсальним.

При аналітичному розв’язку задач дотримуються наступної послідовності:

1. Вибирають об’єкт рівноваги – тіло або точку, рівновагу якого (якої) треба

розглянути.

2. Виділений об’єкт звільняють від в’язей, дію в’язей заміняють реакціями, зображають прикладені до тіла сили.

3. Вибирають систему координат, проектують активні сили і реакції на

координатні осі та складають рівняння рівноваги.

4. Визначаємо невідомі сили, розв’язуючи складені рівняння.

Рівняння рівноваги справедливі для будь-якої системи координат, але для спрощення розв’язку задач слід вибирати осі координат так, щоб хоча б одна з осей була перпендикулярна одній з невідомих сил.

Якщо напрям шуканої сили невідомий, її розкладають на дві складові по напрямках вибраних осей координат; за визначеними двома взаємно перпендикулярними складовими знаходять невідому силу.

5. Вибирають нову систему координат, складають рівняння рівноваги відносно нових осей координат і перевіряють правильність розв’язку, підставивши в нові рівняння раніше знайдені невідомі величини, або визначивши з нових рівнянь невідомі сили і порівнявши їх з попередніми значеннями.

(Перевірити правильність аналітичного розв’язку можна, розв’язавши задачу графічним або геометричним способом).

Задача 1 (Умову задачі див. в попередньому занятті).

Задачу розв’язуємо аналітичним методом.

Всі сили переносимо в точку перетину їх ліній

дії – т.О. Через т.О проводимо осі координат.

Одна з осей перпендикулярна до однієї з

невідомих сил (х R _K).

Визначаємо проекції сил на координатні осі і

складаємо рівняння рівноваги:

Σ F_ix = 0; R_A cos β – G sin α = 0;

Σ F_iy = 0; R_K – R_A sin β – G cos α = 0.

Розв’язуємо рівняння і знаходимо значення

невідомих реакцій:

-21-

Якщо порівняти одержані значення реакцій, з результатами, одержаними попереднім розв’язком задачі геометричним способом, то видно що вони збігаються.

Задача 2

Між двома стінами на шнурах висить ліхтар масою

2 кг. Лівий шнур утворює з стіною кут α = 45⁰, а

правий – кут β = 30⁰. Знайти натяги обидвох шнурів.

Дано: m = 2 кг;

α = 45⁰;

β = 30⁰;

Знайти Т₁, Т₂.

Розв’язування

За законом рівності дії і протидії (аксіома 5) натяги шнурів рівні і протилежні реакціям шнурів, які діють на ліхтар – Т₁ = R_A; T₂ = R_B. Реакції напрямлені вздовж шнурів і прикладені до точки підвісу ліхтаря – т.С. Сила тяжіння прикладена до ліхтаря і рівна G = mg; де g = 9,81 ≈ 10 м/c²; G = 2∙10 = 20 H.

Розв’язуємо задачу геометричним способом.

Умова рівноваги Σ F _i = 0; G + R _A + R _B = 0. За складеним рівнянням будуємо силовий багатокутник (трикутник).

З побудованого трикутника за теоремою синусів

одержимо:

;

-22-

Розв’язуємо задачу аналітичним способом.

Лінії дії всіх сил, що діють на ліхтар перетинаються в т.С. Зображаємо розрахункову схему, перенісши всі сили в т.С:

Проводимо осі координат через т.С. Вісь у

напрямляємо вздовж реакції R _A, тоді вісь х R _A.

Складаємо рівняння рівноваги:

Σ F_ix = 0; – G sin 45⁰ + R_B cos 15⁰ = 0;

Σ F_iy = 0; – G cos 45⁰ + R_A + R_B sin 15⁰ = 0.

З першого рівняння визначаємо реакцію R_B:

З другого рівняння визначаємо реакцію R_A:

R_A = G cos 45⁰ – R_B sin 15⁰ =

= 20 ∙ 0,707 – 14,64 ∙ 0,259 = 10,35 H.

Порівнюючи значення реакцій, визначені геометричним і аналітичним способами, бачимо, що вони однакові. Отже, задача розв’язана вірно.

Домашнє завдання

Електрична лампа вагою 20 Н підвішена до стелі

2.11 М А на шнурі АВ і відтягнута до стіни шнуром ВС.

Визначити натяг Т_А шнура АВ і Т_С шнура ВС,

якщо відомо, що кут a = 60⁰, а кут b = 135⁰.

С Вагою шнурів знехтувати.

В

2. 16 М А E С До шнура АВ, один кінець якого закріпле-

a b ний в точці А, прив’язані в точці В вантаж

Р і шнур ВСD, перекинутий через блок; до

В D кінця його D прив’язана гиря Q вагою

100 Н. Визначити, нехтуючи тертям в блоці,

P Q натяг Т шнура АВ і величину вантажу Р,

якщо в положенні рівноваги кути, утворені

шнурами з вертикаллю ВЕ, рівні: a = 45⁰,

b = 60⁰.

-23-

2. 22 М В Однорідна куля вагою 10 Н втримується в рівновазі тросами АВ і СD розташовани-

ми в одній вертикальній площині і утво-

А риючими один з одним кут 150⁰. Трос АВ

Нахилений до горизонту під кутом 45⁰. Виз-

-24-