Ряды на комплексной плоскости

Пусть – последовательность комплексных чисел,

Выражение вида

называется числовым рядом, числа – элементами ряда, сумма – n -й частичной суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд называется сходящимся, ее предел называется суммой ряда, что записывают

Если последовательность расходится, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Величина

называется остатком сходящегося ряда. Из сходимости ряда следует равенство

Если ряды

и

сходятся и имеют суммы соответственно S и S ¢, то ряд сходится к сумме

Ряд называется действительной частью ряда а ряд – мнимой частью ряда

Ряд с комплексными элементами сходится тогда и только тогда, когда сходятся его действительная и мнимая части, причем в случае сходимости

Необходимый признак сходимости: если ряд с комплексными элементами сходится, то

Достаточный признак расходимости: если (или не существует), то ряд расходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд который является рядом с действительными неотрицательными элементами.