Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции определяются равенствами:

Приведенные четыре обратные тригонометрические функции являются бесконечнозначными.

Главное значение логарифма используют для определения следующих функций:

(29.15)

из которых первые две – двузначные, а последние две – однозначные.

Пример 1. Вычислить:

1) 2)

Решение. 1) Воспользовавшись формулой (29.12), получаем

2) По формуле (29.11) находим

Пример 2. Выяснить, справедлива ли формула

Решение. Проверим справедливость формулы, например, для Согласно формуле (29.13), находим

Однако это не одно и то же. Если то из первого равенства получаем значение Такое значение мы не можем получить из второго равенства ни при каком Приходим к выводу, что приведенная в условии формула не справедлива.

Пример 3. Вычислить: 1) 2)

Решение. 1) Воспользуемся формулой (29.14):

2) Вычисляем аналогично

Пример 3 показывает, что число 1 в иррациональной степени дает бесконечное множество комплексных значений. А все значения степени есть положительные действительные числа.

Пример 4. Вычислить:

1) 2)

Решение. 1) Согласно формуле (29.15), получаем

Записывая комплексное число в тригонометрической форме и извлекая квадратный корень, найдем два его значения, а именно: Значит, т. е. решение имеет два значения. Рассмотрим каждое из этих значений отдельно, воспользовавшись формулой (29.12):

Таким образом,

2) Вычислим последовательно: