Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства гиперболических функций1. Функции определены и непрерывны на плоскости C. 2. Производные функций существуют для любого и 3. Справедливы равенства:
(29.8)
4. Функции th z и cth z определены и непрерывны всюду на плоскости C, кроме нулей знаменателей.
Пример 1. Доказать, что для функции справедлива формула (29.9) Решение. Пусть Используя свойства степени и формулу Эйлера, получим: Далее, перемножая выражения в скобках и используя тригонометрические формулы для косинуса и синуса суммы двух аргументов, получаем: Равенство (29.9) доказано.
Пример 2. Доказать равенство Решение. Используем определение гиперболического синуса. Тогда Заданное равенство доказано.
Пример 3. Доказать равенство (29.10) Решение. Преобразуем правую часть заданного равенства, используя формулы (29.7): Выражения перемножаем и по формуле (29.7) получаем: Равенство (29.10) доказано.
Пример 4. Найти действительную и мнимую части функции Решение. Так как то Используем далее формулу (29.8). Тогда Значит, для будет
Пример 5. Выяснить, на какое множество точек плоскости функция отображает прямую линию с плоскости Решение. Рассмотрим три случая таких прямых. 1. Пусть z «пробегает» прямую, параллельную мнимой оси Oy: Тогда т. е. образом такой прямой является окружность радиуса с центром в начале системы координат Ouv. При этом, когда точка z «пробегает» рассматриваемую прямую один раз (координата t непрерывно меняется от до ), то образ w «пробежит» (в положительном направлении) соответствующую окружность бесконечное количество раз. 2. Пусть z «пробегает» прямую, параллельную действительной оси Ox: Тогда т. е. множество образов лежит на луче, который выходит из начала системы координат и образует с осью Ou угол При этом, когда точка z «пробегает» прямую один раз (абсцисса t непрерывно изменяется от до ), то образ w тоже один раз «пробегает» соответствующий луч (расстояние от начала системы координат до точки w непрерывно растет от 0 до ). 3. Пусть z «пробегает» прямую, которая не параллельна координатным осям. Уравнение такой прямой имеет вид где k – угловой коэффициент прямой; b – ордината при Тогда образом такой прямой является кривая Для точки w, которая лежит на этой кривой (при условии, что ), имеем: Из второго равенства выразив t через и подставив в первое, получим где Это уравнение логарифмической спирали.
Пример 6. Выяснить, на какое множество точек функция отображает полуполосу Решение. Обозначим данную в условии полуполосу через d. Согласно восьмой формуле (29.8), для функции имеем Найдем сначала образ луча Очевидно, что он отображается на множество точек Поскольку для имеем то в плоскости образом луча будет луч Г1 Аналогично определим, что интервал отображается на множество которое является интервалом Г1: И наконец, луч преобразуется в множество которое является лучом Г3: Выберем внутреннюю точку полосы Для этой точки получаем следующие значения: – образ принадлежит четвертой координатной четверти. Это значит, что внутренние точки полосы d отображаются на внутренние точки множества D четвертой четверти, причем это взаимно-однозначное отображение.
|