Ее предел и непрерывность

Пусть D – некоторое множество комплексных чисел. Если каждому по некоторому правилу функции f ставится в соответствие одно или несколько комплексных чисел w, то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной z со значениями w, и пишут:

Если каждому значению z соответствует единственное значение w, то функция называется однозначной. Если существуют такие которым соответствуют несколько значений w, то функция называется многозначной (могут быть n -значные, и бесконечнозначные функции).

Так как числа z и w имеют действительные и мнимые части, то пишут

при этом говорят, что аргумент z функции f лежит в комплексной плоскости а значение w – в комплексной плоскости (функция f однозначная).

Далее считаем, что функция f (z) однозначна и определена в некоторой проколотой окрестности точки z ₀.

Комплексное число S называется пределом функции f (z) в точке z ₀, если для любого существует действительное число что для любого z такого, что выполняется (определение предела по Коши).

Комплексное число S называется пределом функции f (z) в точке z ₀, если для любой последовательности аргументов соответствующая последовательность значений функции сходится к числу S, т. е. (определение по Гейне).

Наличие предела функции f (z) в точке записывают так: (или ). Используя понятие окрестности, предел функции определяют и так: комплексное число S называется пределом функции f (z) в точке если для любой e -окрестности точки S существует проколотая d -окрест­ность точки что для каждой ее точки z соответствующее значение функции f (z) лежит в e- окрестности точки S.