Что и требовалось доказать

Следствие. (Формула Муавра). Если и nÎN, то

.

Доказательство. Достаточно в теореме положить и умножить последовательно число само на себя n раз.

Пример. (-1+i

Аналогично доказывается формула:

Определение. Корнем натуральной степени n из комплекс­ного числа (обозначается ) называется комплексное число такое, что

Теорема. (Извлечение корня) Корень степени n из комплексного числа имеет n значений, определяемых по формуле:

Доказательство. По определению корня имеем: . Положим . Тогда . Откуда или и ; следовательно n . В силу перио­дичности функций sin и cos значения и будут раз­личны при , что и требовалось доказать.

Пример. Решить уравнение:

,

Задание 1. Показать, что число , p - простое число, n>1 иррационально.

Задание 2. Сравнить числа: и .

Задание 3. Доказать, что:

(число z называется частным от деления z ₁ на z₂ и обозначается символом )

Задание 4. Доказать равенство и выяснить его геометрический смысл:

Задание 5. Доказать, что величина равна расстоянию на комплексной плоскости между точками и , изображающими комплексные числа z ₁ и z₂.