Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Основная теорема алгебры

Рассмотрим комплекснозначные функции комплексной переменной , имеющей вид:

(6)

где - заданные комплексные числа . Такие функции называются многочленами n-й степени. Комплексное число называется корнем (или нулем) многочлена , если .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема (теорема Безу). Комплексное число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда существует такой многочлен , что

. (7)

Доказательство. Из школьного курса алгебры известно, что всякий многочлен можно разделить на любой многочлен с остатком. Это значит, что для любых многочленов и существуют такие многочлены и , что

(8)

причем степень многочлена меньше степени многочлена (представление в виде (8) получается при делении на «углом»). В школьном курсе рассматриваются многочлены с действительными коэффициентами, однако аналогичное утверждение справедливо и для многочленов с комплексными коэффициентами.

Для случая формула (8) примет вид

(9)

здесь - многочлен, степень которого меньше единицы (степени ), т.е. постоянное число. Полагая в равенстве (9) , получим

(10)

Итак, если - корень , т.е. , то и и формула (9) совпадает с (7). Обратно, если делится без остатка на , то в формуле (9) равно нулю и в силу равенства (10) имеем .

Лемма (условие тождественности двух многочленов). Две функции

(11)

совпадают тогда и только тогда, когда и .

Теорема (основная теорема алгебры). Всякое уравнение вида