Вычисление сумм и произведений с помощью комплексных чисел
Пример. Выразить через и .
Пусть . Найдем двумя способами. По формуле бинома имеем:

С другой стороны, по формуле Муавра: . Приравнивая правые части полученных равенств и выделяя действительную часть, получаем:
.
Пример. Вычислить 
Пусть , тогда рассматриваемая сумма есть мнимая часть выражения , которое с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, формулы Муавра и простейших тригонометрических формул, преобразуется следующим образом:


Выделяя мнимую часть, получаем

Выделяя действительную часть, можно получить

Пример. Вычислить 
Пусть . Преобразуем выражение, мнимая часть которого есть рассматриваемая сумма:
Мы последовательно применили формулу бинома Ньютона, тригонометрические формулы двойного угла и, наконец, использовали формулу Муавра. Теперь, выделяя мнимую часть в последнем выражении, получаем

Пример. Вычислить .
Так как , то
.
Для вычисления суммы в круглых скобках положим и рассмотрим сумму

Выделяя действительную часть, получаем

Поэтому
.
Пример. Вычислить
a) 

Пусть . Первая сумма совпадает с действительной частью выражения , вторая сумма - с его мнимой частью. Для нахождения рассмотрим произведение , в котором, раскрывая скобки, получим

Следовательно,
.
Для отделения мнимой и действительной части в последнем выражении удобно ввести величину , заметив, что . Итак,

Выделяя действительную и мнимую части, соответственно, получаем

Пример. Выразить через синусы кратных углов.
Пусть , тогда нетрудно проверить, что и по формуле бинома Ньютона получаем
.
Подставляя вместо z его выражение через x и приводя подобные, получаем

Пример. Выразить через синусы кратных углов.
Пусть , тогда и, следовательно,
Пример. Вычислить

Разлагая по формуле бинома:

видим, что выражение а) есть действительная часть числа , тогда как b) – его мнимая часть. Так как

то

Пример. Вычислить
.
Разложим по формуле бинома:

С другой стороны, по формуле Муавра:
.
Приравнивая мнимые части в обоих выражениях, получаем

Отсюда

Пример. Вычислить

Рассмотрим выражение , где .
Раскладывая все три бинома и вынося за скобки общие биноминальные коэффициенты, получаем:

С другой стороны,

Следовательно,

Date: 2015-07-02; view: 3462; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|