![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Комплексные числа и арифметические действия над ними
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Различают прямые и обратные действия (операции) над числами. Например, сложению соответствует обратная операция - вычитание, умножению - деление, возведению в целую положительную степень - извлечение корня. Обратные операции приводят к необходимости постепенного расширения понятия числа. Так, действительных чисел недостаточно для того, чтобы извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Следовательно, действительных чисел недостаточно даже для того, чтобы решить любое квадратное уравнение, например, Этот и прочие вопросы математики приводят к необходимости расширения множества действительных чисел до множества так называемых комплексных чисел. Геометрическим образом действительного числа является точка прямой. Мы введем такое множество чисел, геометрическими образами которых будут точки плоскости, а множество действительных чисел будет входить в это множество как подмножество. Определение. Комплексным числом называется символ Символ Множество действительных чисел входит в множество комплексных чисел с помощью условия
Комплексные числа Введем над комплексными числами арифметические операции так, чтобы они при применении к действительным числам давали бы те же результаты, как и в арифметике действительных чисел. 1) Операцию сложения двух комплексных чисел
Применяя это определение к действительным числам, получаем
то есть это определение не противоречит сложению действительных чисел. 2) Операцию умножения двух комплексных чисел определим равенством ( Применяя это определение к действительным числам, получим ( Это определения также не противоречит умножению действительных чисел. Легко показать, что для операций сложения и умножения комплексных чисел справедливые все пять законов арифметики: 1. 2. 3. 4. 5. где В операциях над комплексными числами особую роль играет число Произведение действительного числа Всякое комплексное число
Используют также обозначение: Очевидна также, справедливость таких равенств:
и вообще
Замечание. На практике комплексные числа перемножают по правилу умножения двучленов с учетом равенства При возведении в целую положительную степень n комплексного числа Пример 1. Вычислить . Два комплексных числа ( 3) Вычитание определяется как операция обратная сложению, то есть разностью двух чисел
Покажем, что разность всегда существует и единственна. На основании определения сложения равенство (3) можно записать так: 4) Частным чисел ( Покажем, что частное существует и единственно, если
Таким образом, деления определяется равенством:
причем частное определяется однозначно. Замечание. На практике частное двух комплексных чисел находят так
Справедливая теорема: Теорема. Если в сумме, разности, произведении и частном каждое комплексное число заменить сопряженным с ним, то и результаты заменятся сопряженными числами, то есть:
Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения равенств, которые определяют эти операции. 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действительные числа откладываются на оси oХ (см. Рис.1), мнимые на оси oУ. Поэтому ось oХ называется действительной осью, а ось oУ мнимой. Началу координат отвечает число ²0². Кроме декартовой формы комплексного числа очень употребительной является еще одна форма – тригонометрическая.
r
0 x X Рис. 1. Пусть (х, у) декартовые координаты точки, которая изображает комплексное число
Выражение (5) называется тригонометрической формой комплексного числа. Величины r и j называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа, и обозначают Аргумент числа нуль – не обусловлен. Отметим, что аргумент комплексного числа является корнем системы уравнений: Из этой системы находим Пример 2: Представить комплексное число
-1 X Мал. 2. Имеем Итак, 3. Геометрическое толкование сложения и умножения (теоремы о модулях и аргументах). 1. Пусть даны два комплексных числа Известно, что при сложении векторов соответствующие проекции их складываются. Ведь вектор, который изображает комплексное число
Вычитание можно рассматривать как сложение (см. Рис. 4), то есть Из геометрического содержания вычитания вытекает, что
Y
X
Рис. 3.
0 X
Рис. 4. . 2. Перемножим теперь два комплексных числа
Отсюда вытекает, что
то есть (первая теорема о модулях и аргументах) при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. Вектор, который изображает
0 Рис. 5.
0 Рис. 6. Формулы (6) можно распространить на любое число сомножителей, то есть:
Это есть так называемая формула Муавра[2]. Поделим два комплексных числа одно на другое. Будем иметь:
Итак,
то есть (вторая теорема о модулях и аргументах) при делении модули делятся, а аргументы вычитаются. Отметим, что формула Муавра может иметь место для любого целого показателя, если ввести обозначение:
[1] Понятие больше - меньше для комплексных чисел не определяется. [2] Муавр (Moivre) Абрахам (1687-1754), англ. математик. По национальности француз. Нашел правило возведения в степень комплексного числа. В теории вероятностей доказал частный случай так называемой теоремы Лапласа Date: 2015-07-02; view: 1132; Нарушение авторских прав |