Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения мы одно решение знаем: . Очевидно, что , поэтому . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.

Замечание 17.2 Числа и в поле комплексных чисел абсолютно равноправны. Если бы число обозначить и построить с этим обозначением новое поле комплексных чисел, то оно будет в точности таким же, как и исходное.

Рассмотрим уравнение , где -- вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни , , где -- обычный арифметический корень.

Решим уравнение , где -- вещественные числа, , . Для этого выделим в правой части полный квадрат (см. пример 12.1):

Откуда

Если обозначить , а обозначить , то получим уравнение предыдущего типа, его решения:

Поэтому

то есть

Итак, если дискриминант отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

(17.5)

Пример 17.2 Решите уравнение .

Решение. Находим дискриминант:

Находим корни:

Ответ: .