Показательная форма комплексного числа. Вспомним второй замечательный предел

Вспомним второй замечательный предел

.

Отсюда нетрудно получить, что

,

т.е. показательную функцию действительного аргумента можно определить как некоторый предел. Естественно попробовать определить показательную функцию мнимого аргумента таким же образом:

, , .

Сначала «разберёмся» со степенью, стоящей под знаком предела:

если , , , то

.

Найдём отдельно пределы модуля и аргумента числа :

.

Итак, и мы приходим к известной формуле Эйлера:

. (*)

Отсюда легко получить показательную форму комплексного числа :

. (**)

Из формул (*) и (**) получим выражения для косинуса и синуса вещественного аргумента:

, .

Используя показательную форму, можно рассмотреть комплексно-значную функцию комплексного переменного:

.

Лекция 23