Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Корни из комплексного числа и их вычисление





2.5.1. Определение. Пусть n ¾ натуральное число. Корнем n - й степени из комплексного числа a называется такое комплексное число b, что = a.

Корень n -й степени из комплексного числа a обозначается через .

2.5.2. Теорема. Существует в точности n различных значений корня n - й степени из комплексного числа a. Они вычисляются по формуле

= (cos + i sin ), (2.5.1)

где r ¾ модуль числа a, j ¾ его аргумент, l ¾ произвольное целое число, k пробегает все значения от 0 до n -1.

Таким образом, множество значений корня n -й степени ¾ следующее

= (cos + i sin . (2.5.2)

2.5.3. Упражнение. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

Решение. б) Найдём тригонометрическую форму числа -1: -1= =cos p + i sin p. Тогда по (2.5.2) имеем

={ wk =cos + i sin | k =0, 1, 2, 3}.

Найдём каждое значение wk в отдельности:

w 0 = cos + i sin = + i;

w 1 = cos + i sin =cos + i sin = - + i;

w 2 = cos + i sin =cos + i sin = - - i;

w 3 = cos + i sin =cos + i sin = - i;

Ответ: б) ={ + i, - + i, - - i, - i }.

2.5.4. Вычисление квадратного корня из комплексного числа в большинстве случаев удобно производить по следующей схеме. Пусть требуется найти . Будем искать в виде x + yi:

= x + yi. (2.5.3).

Возведём обе части (2.5.3) в квадрат: a + bi =(x 2- y 2)+2 xyi. Теперь, приравняв в обеих частях действительные и мнимые части, приходим к системе

решая которую, находим x и y.

Например, пусть требуется найти . Положим = = x + yi, откуда получаем -28+8 i =(x 2- y 2)+2 xyi и приходим к системе

Выражая из второго уравнения y через x (y = ) и подставляя его в первое, приходим к уравнению x 2- =-28, которое приводится к виду x 4+28 x 2-16=0. Оно - биквадратное. Положим t = x 2 и решим полученное квадратное уравнение t 2+28 t -16=0. Получаем решения: t 1=-14+2 и t 1=-14-2 . Второе отбрасываем из рассмотрения, так как x = должен быть действительным. Поэтому x 1,2= . Отсюда y 1,2= , то есть

={ + i, - - i }.

2.5.5. Упражнение. Вычислить , , , .

2.5.6. Можно показать, что квадратное уравнение ax 2+ bx + c =0, где a, b, c Î C, имеет корни .

2.5.7. Упражнение. Решить уравнения:

а) x 2-1=0; б) x 2+2=0; в) x 2-2- i =0; г) x 2+2 x +2=0;

д) x 2+(2+ i) x +(3-2 i)=0; е) 4 x 2-(2- i) x +(6-2 i)=0.

Решение. д) Корнями являются числа

x 1,2= .

Найдём отдельно выражение под корнем:

(2+ i)2-4×(3-2 i)=4+4 i -1-12+8 i =-8+12 i.

Поэтому = . Этот корень будем искать по правилу, изложенному в 2.5.4:

-8+12 i =(x 2- y 2)+2 xyi, откуда Далее, опуская комментарии, имеем y = , x 2- =-8, x 4+8 x 2-36=0, t = x 2, t 2+8 t -36=0, D =82-4×(-36)=208=16×13, t =2 -4, t 1, 2= =-4±2 , x, y, =±( + i). Теперь

x 1,2= = =

= =

= .

Ответ. x 1= ,

x 2= .

 


[1] Понятие «множество», другие понятия и обозначения,связанные с ним, см. Приложение 3.

[2] Ниже в угловых скобках мелким шрифтом приводятся комментарии к преобразованиям

Date: 2015-07-02; view: 783; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию