Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Комплексные числа
Заметим, что простейшее квадратное уравнение (6) не имеет решения в множестве действительных чисел. Это так, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть числом отрицательным и в сумме с положительным числом 1 дает число >0, большее нуля. Но уравнение (6) можно обратить в тождество, если считать числом – «мнимой единицей», которое обозначают буквой . Основное его свойство: . (7) Тогда решением для аналогичного уравнения будет . В итоге проверки имеем: . Определение: модуль любого действительного числа имеет неотрицательное значение: . (8) Известно, что квадратное уравнение , (9) где , имеет действительное решение, , когда его дискриминант . Применение для мнимой единицы, имеющей свойство (7), позволяет записать и получить численное решение для уравнения (9) в виде 2х комплексных чисел: ; (10) Здесь – действительная часть комплексных чисел и . Это записывают: . В (10) – мнимая часть комплексного числа и – мнимая часть комплексного числа . Это записывают: . Числа и вещественные, и . В (10) комплексные числа и взаимно сопряженные. Комплексное сопряжение обозначают «*» справа вверху от числа или чертой над ним , . (11) Операция комплексного сопряжения меняет только знак мнимой части комплексного числа z на противоположный знак (см. равенство (10)). Каждую формулу (10) надо читать как единую запись одного комплексного числа в координатной форме . (12) Комплексное число , у которого , называют существенно комплексным числом. Модулем комплексного числа (12) называют неотрицательное значение (13) Каждому комплексному числу, записанному в форме (12), соответствует упорядоченная пара вещественных чисел: . Их можно рассматривать, как координаты точки на ортогональной декартовой плоскости . Эту же упорядоченную пару чисел можно рассматривать как декартовые координаты вектора , проведенного из начала ортогональной системы в точку . Наоборот каждой точке и, соответственно, вектору ставится в соответствие комплексное число (равенство (12)). Тогда горизонтальную ось «комплексной плоскости» обозначают , а мнимую ось . Угол , который радиус-вектор образует с положительной осью , называют аргументом комплексного числа и обозначают . Поворот радиус вектора на угол дает то же значение (12) комплексного числа. Поэтому значение определяется комплексным числом с точностью до целочисленного значения , . Если значение аргумента комплексного числа такое, что , его обозначают . Ясно, что , (14) Поскольку период функции равен , то применение обратной тригонометрической функции для определения ограниченно следующим правилом: , (15) где для точки в 1ой и 4ой четвертях, , когда точка находится во второй четверти, и , когда точка находится в 3ей четверти. Рисунок 1.
Для прямоугольного треугольника (см. Рис. 1) можно записать очевидные тождества, связанные с определением тригонометрических функций и . , (16) Тогда можно записать эквивалентное (12) выражение: . (17) Выражение (17) называют тригонометрической записью комплексного числа. Замена в (17) на , , в силу периодичности тригонометрических функций не изменяет значение . Два комплексных числа равны, если, соответственно, равны их действительные и мнимые части. После применения в (17) формулы Эйлера , (18) перейдем к экспоненциальной, показательной, записи комплексного числа . (19) Формула (18) доказывается в теории рядов посредством установления равенства рядов, представляющих левую и правую части этого тождества. (Ряды изучаются в третьем семестре). Связь между комплексными числами и векторами на плоскости, то есть с их проекциями на оси координат, становится полной после определения операции сложения комплексных чисел и : . (20) Разность комплексных чисел определяется как операция обратная сложению: , где знак «» обозначает «равносильность» равенств. Отсюда и . Тогда соответственно имеем (21) Равенства (20) и (21) полностью совпадают с равенствами для проекций суммы и разности двух векторов, что иллюстрируют рисунки 2 и 3. Рисунок 2. Рисунок 3. На рисунке 3 в точку направлен вектор , который однозначно соответствует разности комплексных чисел , определяемой по формуле (21). Это соответствие между комплексными числами и векторами на плоскости, с точностью до их сложения и вычитания, называют изоморфизмом. Изоморфизм комплексных чисел и векторов на плоскости используется, например, в электротехнике. Для расчета сложных электрических цепей с равным успехом применяют и «метод векторных диаграмм», и «метод комплексных амплитуд». Результаты, естественно, совпадают. Произведение двух комплексных чисел определяется как алгебраическая операция умножения двучлена на двучлен . При этом учитывается и проводится приведение подобных величин, не содержащих и содержащих множителем мнимую единицу , . (22) Для тригонометрической или показательной записи комплексного числа, , и получение произведения (22) упрощается: (23) Модуль числа равен произведению модулей перемножаемых комплексных чисел и его аргумент равен сумме аргументов этих чисел. По этому правилу умножения комплексных чисел, (23), можем записать -ую степень комплексного числа в тригонометрической и экспоненциальной записи: (24) При получаем известную формулу Муавра: . (24′) Она верна при любых целых показателях . Операция деления для комплексных чисел определяется, как операция обратная операции умножения комплексных чисел. То есть равенство равносильно равенству . Тогда верно: и . Отсюда следует: , и соответственно получим: (25) Координатная запись в (25) результата деления комплексных чисел и в (23) результата их умножения получена применением равенств: , , и . Для операции возведения в степень обратной операцией будет, как отмечалось выше, операция извлечения корня. Для комплексного числа извлечение корня любой степени не является однозначной операцией. Действительно, число является корнем -ой степени из числа , если . Тогда верно: , . (26) Вследствие неоднозначности и (см (14)) в общем случае равенство нужно рассматривать как равенство двух множеств: , (27) При решении уравнений (26) необходимо учитывать равенство (27), полагая в нем . В результате получим одно значение модуля (26′) и различных значений аргумента корня, интервал изменения которого не превышает , при этом получает индекс: , , где . (27′) Получили различных значений корня , (28) где , , . При этом возведение каждого корня (28) в -ую степень дает . Соединяя начало координат плоскости , где и , с точками , изображающими комплексные числа (см. (28)), получим -конечную звезду, см., например см. Рис. 4, поскольку у всех одинаковые значения модуля . Пример 1. Для комплексного числа найти модуль, аргумент и записать его в тригонометрическом и экспоненциальном виде. Определить все корни 5ой степени из этого комплексного числа. Решение. Модуль числа равен: Так как и , и , то точка лежит в первой четверти. Поэтому в формуле (15) : В итоге: . Вычислим модуль для корня 5-ой степени из числа по формуле (26′) . По (27′) мы получим пять различных значений аргумента, разность между которыми не превышает , , . Для получим и, соответственно, повторим значение корня: ; . То есть различными будут только 5 значений: , , , , . Для полученных корней значения приведены к стандартному интервалу: , . Точки комплексной плоскости, ответствующие комплексным числам , делят окружность радиуса с центром в начале координат на пять равных дуг (см. Рис. 4). Рисунок 4. Задача решена.
Операция комплексного сопряжения связана с заменой на . Такой операции на Рис. 5 отвечает отражение вектора относительно оси . После отражения он совпадает с вектором . Комплексное сопряжение над результатом каждого арифметического действия равносильно замене всех комплексных чисел, с которыми производится арифметическое действие, на комплексно сопряженные числа. Для операции сложения соответствующее отражение всех векторов относительно оси проиллюстрировано на рисунке 5. Отражение соответствующих сторон параллелограмма относительно оси приводит к отражению относительно этой оси всего параллелограмма. Рисунок 5. Ниже приведены все тождества для арифметических операций, связанные с комплексным сопряжением: 1) , 2) , 3) , 4) , (29) 5) , 6) , 7) . Тождество 1) и аналогично тождество 2) легко доказать геометрически, что проиллюстрировано на рисунке 5. Тождества 3), 4), 5) и 6), 7) легко доказываются с помощью тригонометрической записи комплексного числа. Например, Другие функции комплексного аргумента будут рассмотрены позже. Замечание: При выполнении операций сложения и вычитания удобнее применять координатную запись комплексного числа, , а при умножении, делении, возведении в степень или при извлечении корня из комплексного числа удобнее применять тригонометрическую или показательную запись комплексного числа, . Равенство комплексных чисел, как и векторов, предполагает равенство их координат: и , если . Им равносильны равенства: и , . Аналогично, изоморфные комплексным числам вектора равны, если равны их длины и направления. Замечание: Из изоморфизма комплексных чисел и векторов на плоскости следует, что комплексные числа можно сравнивать только по модулю. То есть можно проверить выполнение неравенства или , но неравенства и не имеют смысла. Это нужно учитывать при решении уравнений или неравенств, содержащих комплексные числа. Пример 2. Вычислить: , если . Решение: Для имеем , , число принадлежит четвертой четверти комплексной плоскости и в формуле (15) : . Согласно (13) (по определению): . Запишем в показательной или тригонометрической форме: Тогда согласно (24): Задача решена. Пример 3. Решить уравнение: . Решение: Пусть , тогда квадратное уравнение имеет дискриминант . Поэтому получим два комплексно сопряженных решения: ; , где . Учитывая обозначение и формулу (28) для корня комплексного числа получим три значения , и для кубического корня из и три значения , , для кубического корня из . Для : , -ой четверти и в формуле (13) . Поэтому . По формулам (28) получаем: , , Здесь учтено стандартное ограничение на допустимые значения : . Решая аналогичное уравнение , получаем что , -ей четверти, в (13) и . В этом случае из формул (28) следует: , , . Всем решениям уравнения отвечают точки, лежащие на круге радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости (см. Рис. 6). Рисунок 6. Задача решена. Пример 4. Решить неравенство: . Решение: Учитывая, что согласно (10) и , получим неравенство , которое не содержит мнимой единицы и превращается в неравенство только для вещественных координат точек плоскости, которое ограничивает их допустимые значения: . Выделяя полные квадраты, получим эквивалентное неравенство . (*) В случае равенства в (*) из него получаем уравнение окружности (**) радиуса с координатами её центра: , . Отсюда следует, что неравенству (*) удовлетворяют все точки круга, ограниченного окружностью (**), включая его границу (см. Рис. 7). Рисунок 7. Задача решена. Date: 2015-07-02; view: 913; Нарушение авторских прав |