Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), b - мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z называется чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z является действительным. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Hатуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются частными случаями комплексных чисел.
Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой. Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой являются соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые. Поэтому горизонтальная ось называется действительной осью, а вертикальная - мнимой осью. у
A(a, b), z = a + bi
r b j
О a x
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Имеем связь между декартовыми координатами A(a, b) точки А и полярными координатами A(r, j)
. Следовательно, комплексное число z = a+ i b можно представить в виде:
Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом полярный радиус r точки А называется модулем комплексного числа, а полярный угол j - аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений получим:
Замечание. С помощью арктангенса угол j находится с точностью до периода тангенса (180° = p).Чтобы не сделать ошибку, записать угол не числа z, а числа –z, рекомендуется отметить положение комплексного числа на плоскости и после этого выбрать k=0 или 1, дающее верный угол. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В случае комплексно – сопряженных чисел:
В тригонометрической форме: ,
3) Деление. Умножаем числитель и знаменатель на число комплексно сопряженное знаменателю
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень n. ,
где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим: Отсюда:
где к = 0, 1, …, n – 1.
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Показательная форма комплексного числа.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме: и воспользоваться формулой Эйлера: , то
Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.
Date: 2015-07-02; view: 656; Нарушение авторских прав |