![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Определение. Комплексным числом z называется выражение
где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), b - мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z называется чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z является действительным. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Hатуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются частными случаями комплексных чисел.
Определение. Два комплексных числа
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой. Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой являются соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые. Поэтому горизонтальная ось называется действительной осью, а вертикальная - мнимой осью.
у
A(a, b), z = a + bi
r b j
О a x
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Имеем связь между декартовыми координатами A(a, b) точки А и полярными координатами A(r, j)
Следовательно, комплексное число z = a+ i b можно представить в виде:
Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом полярный радиус r точки А называется модулем комплексного числа, а полярный угол j - аргументом комплексного числа.
Из геометрических соображений получим:
Замечание. С помощью арктангенса угол j находится с точностью до периода тангенса (180° = p).Чтобы не сделать ошибку, записать угол не числа z, а числа –z, рекомендуется отметить положение комплексного числа на плоскости и после этого выбрать k=0 или 1, дающее верный угол. Определение. Числа
называются комплексно – сопряженными. Комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В случае комплексно – сопряженных чисел:
В тригонометрической форме:
3) Деление. Умножаем числитель и знаменатель на число комплексно сопряженное знаменателю
4) Возведение в степень n.
где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим: Отсюда:
где к = 0, 1, …, n – 1.
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Показательная форма комплексного числа.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме: и воспользоваться формулой Эйлера:
Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.
Date: 2015-07-02; view: 674; Нарушение авторских прав |