Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Применение вычетов к вычислению интегралов
|
|
Основная теорема о вычетах:
Пусть 
-аналитическая функция в замкнутой области 
, кроме конечного числа изолированных особых точек 
, 
,…, 
(полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру 
, содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению 
на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.
. (32)
Задача 15.а). Вычислить интеграл 
с помощью вычетов, найденных в задаче 14.
Особые точки 
лежат в круге 
, тогда:
.
Задача 15.б). Вычислить интеграл 
с помощью вычетов, найденных в задаче 14.
Особые точки 
, 
.
.
Вариант 1
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел 
и 
, и значение выражения 
. Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения 
(
)
| а) k= 3 | б) k=2/5 |
6. Дано 
. Тогда 
7. Дана функция 
, где 
. Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
,тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении 
. D: 
, 
, 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию 
по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ: 
, 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 2
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, Re z<1, Im z>-1.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 4 | б) k= 1/7 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
. 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: , 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 3
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, Re z<1, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k=2 | б) k= 3/5 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: 
, , 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ - отрезок прямой 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 4
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 3 | б) k= 4/7 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: 
, , 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ - отрезок прямой 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: , 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 5
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 5 | б) k= 1/3 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВС – ломаная 
, 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 6
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, Re z 
1, Im z>-1.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 4 | б) k=2/3 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
, 
, .
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ – отрезок прямой 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 7
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 5 | б) k= 2/5 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ – отрезок прямой 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 8
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 3 | б) k= 2/7 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: 
, 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным:
.
12. Вычислить интеграл 
, АВС – ломаная 
, 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: , 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 9
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 3 | б) k= 4/7 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВ 
, ВС - отрезок прямой 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: , 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 10
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 5 | б) k= 1/3 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВС – ломаная 
, 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 11
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 4 | б) k= 2/5 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
,.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, 
- граница области: 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, .
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 12
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 5 | б) k= 2/5 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: 
, , 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, АВС – ломаная 
, 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 13
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 2 | б) k= 3/5 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: 
, , 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: 
, 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 14
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 3 | б) k= 3/7 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , 
, 
.
11. Найти аналитическую функцию по следующим данным: 
, 
.
12. Вычислить интеграл 
, 
.
13. Разложить функцию в ряд Лорана: , 
.
14. Найти вычеты функций:
а) 
| б) 
|
15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
а) 
| б) 
|
Вариант 15
1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. 
, 
.
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
.
3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству 
, 
, 
.
4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: 
.
5. Найти значение выражения (
)
| а) k= 5 | б) k= 2/3 |
6. Дано . Тогда 
7. Дана функция , где . Тогда 
8. Найти действительную и мнимую часть 
.
9. Пусть 
, 
, тогда 
?
10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном ото
Date: 2015-07-02; view: 805; Нарушение авторских прав