Формула Эйлера

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора-Маклорена функций:

В последнюю формулу вместо подставим :

(9)

Тогда - формула Эйлера.

Подставив в формулу , получим соотношение между числами: .

А именно ,

Используя формулу Эйлера, была получена показательная форма комплексного числа:

(10)

Тогда: (11)

Последнее равенство подтверждает правило для вычисления произведения комплексных чисел: модули перемножаются, аргументы суммируются.

Используя формулу произведения комплексных чисел в а) показательной и б) тригонометрической формах, легко получить форму возведения в степень:

а) ,

б) - формула Муавра (12)

Аналогично . (13)

Следует заметить, что для нахождения угла требуется учитывать не только полярный угол , но и период , т.е. . (14)

Задача 5.1. Найти значение выражения , для ; а) ; б) .

Решение. По формуле (6) . Воспользовавшись формулой (7), получим: . Запишем заданное число в показательной форме: .

Найдем .

а) .

Тогда, если : ;

: ;

: - графическое изображение совпадает с , все следующие углы будут повторять уже найденные.

Итого, .

Задача 5.2. Найти .

Решение. . По формулам (6) и (7) получим:

, , .

.

По формуле (14) получим: .

Тогда:

: ;

: ;

: - графическое изображение совпадает с . Т.к. для всех корней () они лежат на окружности радиуса 2.

Найдем алгебраическую форму этих корней:

;

;

.