Производная функции комплексного переменного

Если в точке существует предел , то он называется производной функции в точке и обозначается или .

Если в точке функция имеет производную , то говорят, что функция дифференцируема в точке .

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области и имеющая в этой области непрерывную производную , называется аналитической в области .

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные , , , , причем эти производные связаны условиями:

; , (28)

которые называются условиями Коши-Римана.

Условия Коши-Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке .

Верно и обратное утверждение: если частные производные , , , непрерывны в точке и условия Коши-Римана (28) выполнены, то функция дифференцируема, а следовательно и аналитична, в точке .

Производная функции при выполнении условий (28) может быть записана соответственно:

Производные элементарных функций вычисляются по тем же формулам, что и для действительного аргумента:

Задача 9. Пусть , . Найти .

Решение. Найдем производную, используя формулу для , учитывая, что данная функция является сложной:

.

Тогда

.

Задача 10. Найти аналитическую функцию по следующим данным:

, .

Решение. Т.к. является более сложной функцией, чем , воспользуемся сначала вторым условием Коши-Римана: .

Т.е.

, где - произвольная функция от переменной .

Теперь воспользуемся первым условием Коши-Римана: .

.

.

Приравнивая полученные выражения и , получим

.

Тогда .

Воспользуемся условием: при (), получим:

. Тогда .