Исследование функций

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х ₀ – внутренняя точка множества Х. Обозначим через U (х ₀) окрестность точки х ₀. В точке х ₀ функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U (х ₀) точки х ₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х ₀).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х ₀ локальный минимум, если существует такая окрестность U (х ₀) точки х ₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х ₀).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х ₀ = 0:

f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U (x ₀) точки х ₀ (проколотая окрестность означает, что сама точка х ₀ выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х ₀, тогда:

1) если (1)

то в точке х ₀ – локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х ₀ – локальный минимум.

Пример 1. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

Þ х ² –1 = 0 Þ х ₁ = –1, х ₂ = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)		(0; 1)		(1; +¥)
у'	+		–	–	–		+
у		–2		–

max min

то есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке
х ₁ = –1, равный у _max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х ₂ = 1, равный у _min (1) = 2.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема. Если х ₀ – стационарная точка
(f '(х ₀) = 0), в которой f ''(х ₀) > 0, то в точке х ₀ функция имеет локальный минимум. Если же f ''(х ₀) < 0, то в точке х ₀ функция имеет локальный максимум.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

Решение. В примере 1 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х ₁ = –1, х ₂ = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках:

Þ в точке х ₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

Þ в точке х ₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

1) f ''(х) > 0, х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;

2) f ''(х) < 0, х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.

Точка х ₀ называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х ₀, что для всех х Î (х ₀ – d, х ₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х ₀, х ₀ + d) – с другой стороны касательной, проведенной к графику функции f (х) в точке х ₀, то есть точка х ₀ – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х ₀ функция f (х) меняет характер выпуклости.

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х ₀ производную f '' и х ₀ – точка перегиба, то f '' (х ₀) = 0.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х ₀ и при переходе через точку х ₀ производная f ''(х) меняет знак, то точка х ₀ является точкой перегиба функции f (х).

Пример 3. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х ³.

Решение: у' = 3 х ², у'' = 6 х = 0 Þ х ₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х ₀ = 0 функция у = х ³ имеет перегиб:

Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х ₀ – 0) или f (х ₀ + 0) равен бесконечности.

Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если f (х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.

Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

(3)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.

Пример 4. Найти асимптоты функции .

Решение:

а) функция неопределенна в точках х ₁ = –1, х ₂ = 1. Следовательно, прямые х ₁ = –1, х ₂ = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, .

;

б) у = kx + b.

Следовательно, у = 2 х + 1 – наклонная асимптота данной функции.

Ответ: х ₁ = –1, х ₂ = 1 – вертикальные, у = 2 х + 1 – наклонная асимп-тоты.