Дифференциал функции

Приращение функции в точке х ₀ можно представить в виде:

, (1)

где о(Δ х) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Δ х при Δ х → 0.

Функция есть главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х ₀. Эту главную линейную часть приращения функции f (x) и называют дифференциалом функции f (x) в точке х ₀ и обозначают

(2)

В частности, для f (x) = х имеем Следовательно, из (2):

. (3)

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1) ;

2) ;

3)

Пример 3. Найти дифференциалы функций:

а) ;

б) .

С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для х, близких к х ₀. Так, отбросив бесконечно малую функцию в формуле (1), получаем

. (4)

Пример 4. Вычислить приближенно:

а) , б) .

Решение. Воспользуемся формулой (4):

а)

х ₀ = 64, = 0,05;

Следовательно:

Заметим, что ;

б)

Þ

Заметим, что