Некоторые сведения из теории. Типовые задачи.

IV. Общая схема построения интегралов.

IV. А Двойные и тройные интегралы.

Некоторые сведения из теории. Типовые задачи.

Вспомним, как мы вводим понятие определенного интеграла. Мы говорим: пусть на некотором интервале [a; b] задана функция одной независимой переменной f(x). Проделаем 5 операций:

1. Разобьем интервал [a; b] на n частей Dх₁, Dх₂,…,Dх_n, не имеющих между собой общих внутренних точек. Обозначим наибольший из отрезков Dх_k, k = 1, 2,.., n через l, т.е. .

2. Выберем в каждом из частных интервалов Dх_k произвольно по точке x_k и вычислим в них значения функции f(x_k).

3. Вычислим произведения f(x_k)×Dх_k, k = .

4. Найдем сумму которую называют интегральной суммой (суммой Римана) для функции f(x) на интервале [a; b], отвечающей данному дроблению интервала [a; b] на части и выбору точек (x_k).

5. Измельчая дробление, ищем предел для (1), т.е.

Если существует конечный предел (2), не зависящий ни от способа дробления интервала [a; b] на части, ни от выбора точек x_k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(х) на интервала [a; b] и обозначается символом:

Итак, по определению:

Геометрически это выглядело как решение задачи о нахождении площади под кривой f(x) на интервале [a, b].

Именно в этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Все рассматриваемые в данном разделе интегралы строятся именно по этой схеме: рассматривается функция, заданная в некоторой области, и производится пять операций. Отсюда и наименование раздела.

Двойной интеграл.

Date: 2016-07-22; view: 890; Нарушение авторских прав