В замкнутой области D

Правило. Чтобы найти М – наибольшее и m – наименьшее значения функции в замкнутой области D, находят критические точки этой функции. Если эти точки принадлежат области D, то в них следует вычислить значения . Затем, используя уравнения границы L области D, нужно найти критические точки , принадлежащие L, вычислить в них значения . Вычислить значения на концах L. Осталось из всех найденных значений данной функции выбрать самое большое М и самое малое m.

Задача 3. Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции в прямоугольнике .

Решение. Найдем критические точки функции z, которые принадлежат заданной области (рис. 2).

B(0, 2) C(2, 2)

Решим систему уравнений подставим во второе уравнение: , т. е.

1

x=2

1 2 x

у=-1

A(0, -1) D(2, -1)

Рис. 2

Таким образом, решений у системы два: . Первому решению соответствует точка , которая принадлежит границе области. Второму решению соответствует критическая точка , которая принадлежит области, поэтому вычислим значения функции в ней: .

Исследуем функцию z на границе области (прямоугольник ABCD), которая состоит из четырех звеньев:

1. АВ: .

Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . . Получаем критическую точку , вычислим функцию в этой точке: .

2. ВС: . Найдем производную этой функции: , корень уравнения , поэтому критическая точка . Вычислим значение функции в ней: .

.

3. СD: . Найдем , а . Поэтому критическая точка . Вычислим в ней значение функции:

. .

4. AD: . Найдем производную этой функции: , действительных корней не имеет.

5. Осталось вычислить значения функции на концах каждого из отрезков, являющихся сторонами прямоугольника: АВ, BC, CD, AD, т. Е. в вершинах прямоугольника .

,

,

, ,

, .

Сравнив все подчеркнутые значения функции z (только они представляют интерес), делаем вывод: наибольшее значение z достигает в вершине прямоугольника D, т. Е. , а наименьшее – в двух точках: во внутренней точке области и в вершине.

Контрольные варианты к задаче 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.	в треугольнике со сторонами .
2.	в треугольнике со сторонами .
3.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
4.	в треугольнике со сторонами .
5.	в треугольнике со сторонами
6.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
7.	в квадрате
8.	в квадрате
9.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
10.	в области, ограниченной прямыми
11.	в области, ограниченной прямыми
12.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
13.	в треугольнике со сторонами
14.	в треугольнике со сторонами
15.	в треугольнике со сторонами
16.	в квадрате, ограниченном прямыми
17.	в треугольнике со сторонами .
18.	в треугольнике со сторонами .
19.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
20.	в треугольнике со сторонами .
21.	в треугольнике со сторонами
22.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
23.	в квадрате
24.	в квадрате
25.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
26.	в области, ограниченной прямыми
27.	в области, ограниченной прямыми
28.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
29.	в треугольнике со сторонами
30.	в треугольнике со сторонами