Дифференцирование функций нескольких переменных

Основные понятия

1. Определение функции двух переменных , или .

2. Способы ее задания: аналитический, табличный, явный, неявный.

3. Область определения и область изменения функции . Классификация областей определения: открытая и замкнутая, ограниченная и неограниченная.

4. Геометрический смысл функции , или .

Пример 1. Найти область определения функции .

Решение. Функция z представляет собой сумму двух слагаемых функций: и . Найдем области их определения:

,	,

Очевидно, область определения функции z есть пересечение областей определения , т. е. (рис. 1).

y       -2 0 2 x   Рис. 1

Ответ: D – область, отмеченная двойной штриховкой, замкнутая и неограниченная.

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. z – логарифмическая функция, поэтому

y L   D С(-1, 0) 0 x     Рис. 2

Парабола разбивает всю плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Возьмем для контроля любую точку плоскости, например, О(0, 0), подставим

ее координаты в первое неравенство: ; где D – область определения функции, открытая, неограниченная (рис.2).

Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные производные функции

а) первого порядка: ,

где - частное приращение z по х.

,

где - частное приращение z по y.

б) второго порядка: - вторая производная функции z по переменной x, т. е. частная производная по переменной х, взятая от частной производной первого порядка по переменной х.

- смешанная производная z по х и по у;

- смешанная производная z по у и по х.

Можно показать, что порядок дифференцирования безразличен, т. е. ;

- вторая производная функции z по переменной y.

Правило. Отыскивая частные производные функции нескольких переменных по одной из переменных, пользуемся правилами и формулами дифференцирования, считая в этот момент все остальные переменные постоянными.

Задача 1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

а) .

,

отыскивая , переменную у считаем постоянной.

,

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

б) .

отыскивая , переменную у считаем постоянной.

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

Пример 1. Доказать следующие тождества:

а) , если .

Решение. Найдем данной функции и подставим их в равенство, которое надо доказать:

отыскивая , переменную у считаем постоянной..

,

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

Следовательно

что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти и функции .

Решение

Ответ:

Пример 3. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

Таким образом: , ,

Таким образом:

Заметим, что